4.4b Nullstellen

Hier ist eine Parabel mit der Funktion f(x) = x² + px + q = (x - x_S)² + y_S gegeben, die mit den Pfeiltasten (oder durch Ziehen am Graphen) verändert werden kann. Die roten Schnittpunkte mit der x-Achse sind Nullstellen der Funktion, die Lösungen der Gleichung f(x) = 0. Ziehe f so, dass der Scheitelpunkt S immer auf einem Gitterpunkt mit ganzzahligen Koordinaten liegt,

1. Was kannst du über die Anzahl der Nullstellen aussagen? Wie hängt dies mit der Lage von S zusammen?
2. Nun soll eine Formel für die Nullstellen entdeckt werden. Betrachte zunächst den Spezialfall, dass S auf der y-Achse liegt. Untersuche, wie weit die Nullstellen von der y-Achse entfernt liegen, wenn der Scheitelpunkt unterhalb der x-Achse liegt. Findest du eine Gesetzmäßigkeit?
3. Ziehe so, dass S von der y-Achse weg liegt (z.B. auf (3, -4)) und übertrage die Erkenntnisse von b) auf diesen Fall. Führe dies für weitere Scheitelpunkte unterhalb der x-Achse durch.
4. Finde allgemein eine Formel für x₁ und x₂ abhängig von S = (x_S, y_S).
5. Finde einen Zusammenhang zwischen x_S und den Koeffizienten p und q. Finde einen Zusammenhang zwischen y_S und den Koeffizienten p und q.