1112 Két kör közös érintői
A feladat:
Legyen adott a P-modell két köre középpontjával és egy-egy kerületi pontjával.
Szerkesszük meg a két kör közös külső és belső érintőit!
Megoldás:
Ez a feladat a középiskolai geometria órák ismert - bár nem túl egyszerű - feladata. Megoldása azon alapszik, hogy az euklideszi sík bármely két köre hasonló helyzetű: a két kör centrális nyújtással egymásba átvihető. Ha a körök nem koncentrikusak akkor két hasonlósági pontjuk van.
A hiperbolikus geometriában viszont a hasonlóság (a centrális nyújtás) nem értelmezett fogalom, így a feladat megoldása a P-modellen komoly kihívásnak tekinthető.
Lényegében két problémát kell megoldanunk.
Először meg kell szerkesztenünk azoknak a sugársoroknak a tartóit, amelyek tartalmazzák a külső ill. belső érintő egyeneseket. Azt, hogy ez miként érhető el, itt láttuk be. Ugyanis az ott kapott sugársor két tetszőleges elemét (egyik lehet maga a két kör centrálisa) megszerkesztve meg tudjuk szerkeszteni a sugársor tartóját.
A belső érintők tartója egy pont, de ha az egyik kör elegendően nagy a másikhoz képest, akkor a külső érintők tartója is lehet pont. Ebben az esetben az itt látott arkhimédészi módszerrel szerkeszthetők az érintők. Ha a külső érintők eltérő (ultra-párhuzamos) egyenespárt alkotnak, akkor a sugársor tartója egyenes, amelyre merőleges lesz a keresett érintő. Ennek a megszerkesztésére itt láttunk példát.
A fenti két bekezdésben három előzőleg tárgyalt feladatra kellett hivatkoznunk, amelyek önmagukban is szép szerkesztési eljárásokat mutatnak be.
Reméljük,hogy egyetértenek olvasóink e sorok írójával abban, hogy ez a szép a geometriában.