NE ZAMAN f'(x) = f(x)OLUR ?
Üstel fonksiyonların, anlık değişim hızı (verilen herhangi bir giriş değerinde) doğrudan o fonksiyonun çıktısına (söz konusu giriş değerinde değerlendirilen) göre değişen tek fonksiyonlar olduğunu hatırlayın
Örneğin:
Taşıma kapasitesinin veya diğer engelleyici faktörlerin olmadığı varsayılırsa, herhangi bir t anında belirli bir türün popülasyonunun anlık büyüme hızı yalnızca o t zamanındaki gerçek popülasyona bağlıdır. (Bir düşünün: Bir bakteri kolonisinin sadece 10 bakterinin olduğu bir andaki büyüme hızı, 10.000 bakterinin olduğu andaki anlık büyüme hızından çok daha düşük olacaktır.)
Bu nedenle, herhangi bir üstel fonksiyon için (a >0 şeklinde yazılabilen), türevi her zaman kendisinin bir skaler katı olacaktır. Bunun resmi olmayan bir örneği için aşağıdaki uygulamaya bakın
Uygulamayla birkaç dakika etkileşime geçin, ardından aşağıdaki soruları yanıtlayın.
a'nın tüm x'ler için f'(x) = f(x) olduğu belirli bir temel değeri var mı? Eğer öyleyse, bu belirli temel değerin ne olduğunu düşünüyorsunuz?
Bir türevin formal limit tanımını kullanarak , daha sonra , (burada k bir skalerdir) oldugunu gösteriniz.
For the previous question, what is the exact value of this constant (scalar) k?
k = soru (1)'e yanıt olarak verdiğiniz değer olduğunda, f'nin tanım kümesindeki tüm x'ler için f'(x) = f(x) olduğunu resmi olarak kanıtlamak için önceki iki sorudan elde ettiğiniz sonuçları kullanın