7.Dodecaedro rómbico
Existen únicamente tres poliedros convexos que rellenan el espacio (sin dejar huecos): El cubo, el octaedro truncado también llamado sólido de Kelvin, y el dodecaedro rómbico o rombododecaedro.
Actividad 16. Construir un dodecaedro rómbico
Existen muchas formas de construcción, vamos a intentar realizar una de las más sencillas.
Construimos sobre la plantilla un cubo. Cubo(A,B,C), seleccionado previamente n=4.
Determina el centro del cubo, basta hacer el punto medio de dos vértices opuestos.
Ahora construye el punto simétrico del centro del cubo con respecto a cada una de las caras. Para ello usamos la herramienta simetría especular 
y hacemos clic en el punto centro del cubo y una cara.
A veces no sale a, primer intento, gira un poco el cubo, y vuelve a intentarlo.
Hacemos los mismo con cada una de las 6 caras del cubo.
Con la herramienta polígono
seleccionada construimos un rombo como es que se muestra en la figura, sus vértices son dos de los vértices del cubo y dos puntos simétricos de los que hemos construido previamente.
Repite el procedimiento hasta completar el dodecaedro rómbico.
y hacemos clic en el punto centro del cubo y una cara.
A veces no sale a, primer intento, gira un poco el cubo, y vuelve a intentarlo.
Hacemos los mismo con cada una de las 6 caras del cubo.
Con la herramienta polígonoseleccionada construimos un rombo como es que se muestra en la figura, sus vértices son dos de los vértices del cubo y dos puntos simétricos de los que hemos construido previamente.
Repite el procedimiento hasta completar el dodecaedro rómbico.
Actividad 17
El dodecaedro rómbico rellena el espacio, puede comprobarse mediante simetrías o traslaciones.
El procedimiento para hacerlo en GeoGeobra no es inmediato.
En el siguiente applet puedes comprobar que este poliedro rellena el espacio.
Actividad 18. El panal de abejas
Todos sabemos que las caras visibles de las celdillas de un panal de abejas están formadas por hexágonos regulares.
¿Sabes por que es así?
Es menos conocido la estructura del panal donde se unen las dos filas de celdillas.
La siguiente escena muestra como se unen en su parte interior, la estructura está formada por tres de las caras de un dodecaedro rómbico.
Se ha comprobado, que unidas de esta forma, para un volumen de miel en el interior, la superficie empleada en su construcción es mínima.
¡ Las abejas utilizan muchas matemáticas en la construcción del panal !
Actividad 19
¿Que relación hay entre el volumen del dodecaedro rómbico y el volumen del cubo sobre el que se ha construido?
En el libro https://www.geogebra.org/m/nDz3w6Ts puedes ver otras construcciones relacionadas con poliedros regulares. El libro está incluido en https://www.geogebra.org/u/arranz que contiene varios cientos de construcciones 3D con GeoGebra.