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Curvas en el espacio

Una curva parametrizada en es una función diferenciable por partes α: (a, b) - → donde (a, b) es un intervalo abierto en . Permitimos que el intervalo sea finito, infinito o medio infinito. Si I es cualquier otro subconjunto de , decimos que α: I - → es una curva siempre que haya un intervalo abierto (a, b) que contenga I tal que α pueda extenderse como una función diferenciable por partes de (a, b) en . Es importante distinguir una curva α, que es una función, del conjunto de puntos trazados por α, que llamamos traza de α. El rastro de α es solo la imagen α (a, b) , o más generalmente α (I). El ejemplo más simple de una curva parametrizada en es una línea recta. Si se contiene distintos puntos p, q ∈ , es más natural parametrizado por β (t) = p + t (q - p) = (1 - t) p + tq, con t ∈ R. En el plano , la segunda curva más simple es un círculo. Si tiene radio r y centro (p1, p2) ∈ , se puede parametrizar mediante γ (t) = p1 + r cos(t), p2 + r sin t