Curvas en el espacio
Una curva parametrizada en es una función diferenciable por partes
α: (a, b) - →
donde (a, b) es un intervalo abierto en . Permitimos que el intervalo sea finito, infinito
o medio infinito. Si I es cualquier otro subconjunto de , decimos que
α: I - →
es una curva siempre que haya un intervalo abierto (a, b) que contenga I tal que α pueda
extenderse como una función diferenciable por partes de (a, b) en .
Es importante distinguir una curva α, que es una función, del conjunto
de puntos trazados por α, que llamamos traza de α. El rastro de α es solo
la imagen α (a, b) , o más generalmente α (I).
El ejemplo más simple de una curva parametrizada en es una línea recta. Si se contiene distintos puntos p, q ∈ , es más natural parametrizado por
β (t) = p + t (q - p) = (1 - t) p + tq, con t ∈ R.
En el plano , la segunda curva más simple es un círculo. Si tiene
radio r y centro (p1, p2) ∈ , se puede parametrizar mediante
γ (t) = p1 + r cos(t), p2 + r sin t