Corrida do matemático maluco

O João viu o seguinte anúncio:

No dia 20 de Maio realizar-se-á uma corrida de 50 km em equipa. Cada equipa é constituída por, no máximo, 20 elementos. Todos os membros da equipa têm de percorrer distâncias diferentes, sendo que nenhum elemento pode percorrer mais de metade do percurso. A equipa vencedora receberá 20 bilhetes para um dos concertos no Pavilhão Multiusos de Guimarães. As inscrições são até dia 10 de Maio. Organizado por Anicleto Beijinho (matemático maluco)

O João ficou muito entusiasmado, mas preocupado com a proximidade da data limite para as inscrições. Faltavam apenas 2 dias! Pensou logo que tinha de espalhar a novidade rapidamente para conseguir constituir a maior equipa possível.

Para tal, contou-a a três pessoas e pediu que cada uma dessas pessoas contasse a outras três pessoas. E assim sucessivamente.

Explora o seguinte simulador.

O parâmetro j corresponde à transmissão da mensagem. Por exemplo, para j=0 (ainda não houve transmissão), apenas existe um ponto que representa o João, que nesse momento é o único que sabe a novidade.

Quantas pessoas souberam da novidade na 1ª transmissão?

Cochez votre réponse ici

Vérifier ma réponse (3)

Quantas pessoas souberam da novidade na 3ª transmissão?

Cochez votre réponse ici

A
25
B
26
C
27
D
28

Vérifier ma réponse (3)

Qual seria o raciocínio que usarias para descobrir quantas pessoas souberam da novidade na 5ª transmissão?

Após quantas transmissões o total de pessoas que souberam da novidade era superior a 500?

Explica o teu raciocínio.

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Apenas após 4 transmissões, como nem todos disseram que "sim", o João conseguiu formar a sua equipa com 20 elementos.

Ele e os seus amigos começaram a pensar numa estratégia. A melhor maneira de vencerem é o João ser a pessoa que percorre maior distância, uma vez que tem treino em maratonas. Além disto, tem apenas mais dois amigos que conseguem percorrer mais de 5 km. O João começou a ficar preocupado.

O seu amigo Francisco teve uma ideia:

E que tal se pensássemos em dividir os 50 km desta forma: tu corres metade do total, o elemento seguinte percorre metade do que correste e assim sucessivamente.

O João respondeu logo:

Assim não vamos conseguir. Vamos ter muita gente a fazer mais que 5 km.

Consegues ajudar o João?

Começa por desenhar dois pontos a uma distância de 5 cm. Faz um segmento de reta a ligá-los. De seguida, divide o segmento em duas partes iguais e calcula o comprimento dessas partes. Divide novamente uma das partes do segmento em duas partes iguais e calcula o comprimento de cada uma.

Quantos elementos da equipa iriam percorrer mais de 5 km?

Para as próximas perguntas, utiliza esta ferramenta novamente, se precisares de ajuda no raciocínio.

Continuando a dividir a distância total da forma que o Francisco propôs, quantos elementos percorreriam menos de 1km?

Qual seria a estratégia que dirias ao João para a equipa dele ter mais hipóteses de ganhar o prémio (ou seja, uma estratégia que cumpria as regras)? Seguindo essa estratégia é possível cumprir a restrição de não ter mais que 3 membros a percorrer mais de 5 km?