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Extrema und Krümmung

Die Unterscheidung von Hoch- und Tiefpunkten via Vorzeichenwechsel im benachbarten Bereich von Nullstellen der Ableitung ist mühsam. Die Alternative besteht in der Untersuchung des Krümmungsverhaltens

Krümmungsverhalten von Funktionen

Stellen Sie sich nun vor, dass Sie mit einem Zweirad dem Funktoinsgraphen entlangfahren. In welche Richtung neigen Sie sich? Welche Art von Kurve fahren Sie in den einzelnen Bereichen des Graphen?

Krümmung und zweite Ableitung

Blenden Sie nun die zweite Ableitung f''(x) ein. Welcher Zusammenhang besteht zwischen Krümmungsverhalten und zweiter Ableitung?

Kann die zweite Ableitung zur Unterscheidung von Hoch- und Tiefpunkte herangezogen werden?

Ja! Hochpunkt: f'(x)=0 und f''(x)<0 Tiefpunkt: f'(x)=0 und f''(x)>0

Blenden Sie nun auch die erste Ableitung ein.

In welchem Zusammenhang stehen f'(x) und f''(x)?

Zweite Ableitung und Monotonie der ersten Ableitung

In welchem Zusammenhang steht die zweite Abletung und das Monotonieverhalten der ersten Ableitung?