Was sind gebrochenrationale Funktionen?
Was sind gebrochenrationale Funktionen?
Gebrochenrationale Funktionen bestehen - wie der Name schon sagt - aus einem Bruch: .
Dabei sind die Zählerfunktion und die Nennerfunktion ganzrationale Funktionen.
Die Zählerfunktion darf auch eine konstante Funktion sein, also z.B. . Die Nennerfunktion muss aber mindestens eine ganzrationale Funktion ersten Grades sein.
Beispiele für gebrochenrationale Funktionen sind:
Beispiele aus der Wirtschaft:
Eine Stückkostenfunktion:
oder die variablen Stückkosten:
Eine Isoquante:
Nullstellen und Definitionslücken
Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion
- Die Nullstellen der Zählerfunktion sind auch die Nullstellen der Funktion .
- Die Nullstellen der Nennerfunktion sind Definitionslücken der Funktion .
Definitionslücken
Was sind Definitionslücken? Hat eine gebrochenrationale Funktion eine Definitionslücke, dann existiert an dieser Stelle kein Funktionswert, die Mathematiker sagen "der Funktionswert ist dort nicht definiert". Denn wenn die Nennerfunktion eine Nullstelle hat, dann müsste man, um den Funktionswert von zu berechnen, durch Null teilen. Und nichts ist in der Mathematik so sehr verboten, wie durch Null zu teilen (siehe hier).
Die Funktionsgrafen von gebrochenrationalen Funktionen sind eine schöne Veranschaulichung, warum man nicht durch Null teilen darf. Denn an all den Stellen, an denen die Nennerfunktion Nullstellen hat, scheint der Funktionsgraph "zu explodieren" (--> Polstellen).
Es gibt verschiedene Arten von Definitionslücken:
Polstellen mit Vorzeichenwechsel
Wenn eine einfache oder eine dreifache Nullstelle in der Nennerfunktion vorliegt, dann entsteht eine Polstelle mit Vorzeichenwechel (VZW). Hier explodiert der Funktionsgraph an der Polstelle, d.h. er verschwindet auf der einen Seite nach und kommt auf der anderen Seite der Polstelle aus wieder.
In der folgenden App kann man die Polstelle verschieben und beobachten, wie sich dabei der Funktionsterm verändert.
Polstellen mit Vorzeichenwechel
Polstelle ohne Vorzeichenwechsel
Wenn eine doppelte oder eine vierfache Nullstelle in der Nennerfunktion vorliegt, dann entsteht eine Polstelle ohne VZW. D.h. die Funktion verschwindet z.B. nach und kommt hinter der Polstelle auch aus wieder.
Die unten dargestellte Funktion hat zwei Polstellen ohne Vorzeichenwechsel. Verschiebe die Polstellen und sieh, wie sich der Funktionsgraph und die Funktionsgleichung dabei verändern:
Polstellen ohne Vorzeichenwechsel
(Be-)Hebbare Definitionslücken
Wenn eine ganzrationale Funktion Nullstellen hat, dann lässt sie sich faktorisieren, d.h. in Linearfaktordarstellung schreiben:
Wenn in einer gebrochenrationalen Funktion an der gleichen Stelle eine Nullstelle in der Zählerfunktion und auch in der Nennerfunktion vorliegt, dann könnte man die Linearfaktoren zu diesen Nullstellen einfach wegkürzen. Trotzdem bleibt hier ein "Loch" im Funktionsgraphen. Solche Definitionslücken nennt man hebbare Definitionslücken:
Beispiel:
Hier haben Zähler- und Nennerfunktion eine Nullstelle bei . Der Linearfaktor könnte also einfach gekürzt werden. Tatsächlich sieht der Funktionsgraph dieser Funktion genau so aus, wie der von .
Da man beim Kürzen aber den Zähler und den Nenner des Bruches durch teilen muss, teilt man hier - wenn ist - durch Null! Das ist nach wie vor verboten. Das heißt obwohl der Funktionsgraph von genau so aussieht, wie der von , ist er nicht der gleiche, denn er hat ein "Loch" bei . Probieren Sie es aus: in der folgenden Animation ist die Funktion abgebildet. Mit dem Schieberegler lässt sich ein wählen und Sie sehen, wie sich der Punkt auf dem Funktionsgraphen mit dem verschiebt.
Was passiert bei ?