Praktikum LGS und Gaußalgorithmus
Aufgabe 1
In dieser Aufgabe lernen wir den 3D-Rechner kennen und üben, uns darin zurecht zu finden.
- Erstelle eine Ebene, welche durch folgende Koordinatenform gegeben ist: 3 x+y-z = 4
- Benenne diese Ebene mit E1 und färbe sie rot.
- Erstelle eine weitere Ebene E2, welche durch x-y+z=2 gegeben ist und färbe sie grün.
- Aktiviere die Funktion "Clipping verwenden" bei den Einstellungen
in den Grundeinstellungen ganz unten und entscheide für dich, was dir übersichtlicher erscheint. - Drehe das Koordinatensystem durch Halten der linken Maustaste positioniere das Bild so, dass beide Ebenen gut zu sehen sind
- Bestimme durch das Werkzeug "Schneide zwei Flächen"
die Schnittgerade der Ebenen, färbe sie schwarz und verbessere die Sichtbarkeit durch Erhöhung der Linienstärke. Diese Einstellung findest du unter "Darstellung" bei den Einstellungen der Gerade.
Durch welche Gleichung wird die Gerade beschrieben (Funktion für "X" wird im Alegbramodus angezeigt) ?
Aufgabe 3
In dieser Aufgabe wollen wir das folgende LGS geometrisch lösen:
2x + 3y + z = 11 (I)
2x + y + 8z = 28 (II)
6x + 2y + 4z = 22 (III)
- Erstelle jeweils eine zugehörige Ebene.
- Färbe die Ebenen in verschiedenen Farben, um die Übersicht zu wahren.
- Entferne die graue Ebene bei den Einstellungen durch Deaktivieren der Funktion "Ebene anzeigen".
- Bestimme die Schnittgerade von zwei beliebigen Ebenen durch das in 1.6 kennengelernte Werkzeug.
- Bestimme den Schnitt aus der Schnittgeraden und der anderen Ebene (falls vorhanden) durch das bereits bekannte Werkzeug "Schnittpunkt bestimmen"
. - Färbe den Schnittpunkt (falls vorhanden) schwarz, nenne ihn S und überprüfe dein Ergebnis.
Aufgabe 5
In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit dem Drehen von Ebenen als Form einer Äquivalenzumformung, in dem wir wie im Gaußverfahren eine Variable (hier: "x") eliminieren und das geometrisch sichtbar machen.
- Erstelle die Ebenen E1: 6x-y-2z=3 und E2: -x+2y+z=5
- Färbe die Ebenen in verschiedene Farben, sodasss es übersichtlich ist. Bestimme die Schnittgerade der Ebenen und färbe sie schwarz.
- Erstelle einen Schieberegler für "t".
- (Tipp: Falls du für "t" keinen Schieberegler erstellen kannst, erstelle einen für "a" und benenne ihn danach um).
- Bestimme die Grenzen des Schiebereglers mit "0" und dem Vielfachen der Koeffizienten der gewählten Variable (hier: 6).
- Erstelle eine neue Ebene, in der du die ersten beiden Ebenen addierst, nur dass die zweite mit "t" multiplizierst wird. Das sieht wie folgt aus: E3: (6x-y-2z) + t*(-x+2y+z) = 3 + t*5
- Wenn der Schieberegler auf "t=0" steht, sollte die dritte Ebene mit der ersten Ebene übereinstimmen. Wenn der Schieberegler auf dem Maximum steht, sollte die dritte Ebene parallel zu der Achse der gewählten Variable (hier: "x") sein.
- Drehe die Ebenen so, dass du sehen kannst, dass E3 parallel zur x-Achse ist.
Woran wird die Ebene 2 gedreht ?
Eigene Aufgabe
- Erstelle 3 Ebenen deiner Wahl und färbe diese in übersichtlichen Farben ( führe das in jedem Applet durch)
- Entferne die graue Ebene.
- Markiere die jeweiligen Schnittgeraden und färbe sie schwarz.
- Versuche nun, im ersten Applet den ersten Schritt des Gaußalgorithmus darzustellen, indem du wie in der vorherigen Aufgabe die Äquivalenzrelation geometrisch darstellst.
- Führe nun den zweiten Schritt auf gleicher Art im zweiten Applet durch.
- Wiederhole auch das mit dem dritten Schritt.