Razões trigonométricas no ciclo

Um fenômeno é dito periódico quando ele se repete, indefinidamente, após intervalos de tempo iguais. Vários fenômenos físicos se enquadram nessa perspectiva como: o movimento das marés, os batimentos cardíacos, as fases da lua, a rotação do eixo de um motor, bem como os movimentos de rotação e translação que a Terra executa, além de muitos outros. Tomemos como exemplo os movimentos de rotação e translação da Terra. O movimento contínuo de rotação da Terra em torno do seu próprio eixo é realizado num período de 24 horas. Embora não sintamos o giro da Terra, esse movimento é importantíssimo, pois ele determina a sucessão dos dias e das noites. No movimento de translação, que também é periódico, a Terra executa sua órbita aproximadamente circular, em torno do Sol durante aproximadamente 365 dias que correspondem a um ano, nesse período ocorre a mudança das estações climáticas em nosso planeta.

Esses movimentos podem ser modelados matematicamente, e a trigonometria é uma ferramenta imprescindível para entendermos o comportamento desses fenômenos.

A construção abaixo apresenta uma circunferência centrada na origem O do plano cartesiano, cujo raio é representado pelo segmento OC. Os eixos cartesianos dividem a circunferência em quatro partes denominadas quadrantes, os quais encontram-se numerados de I a IV. Nesta construção consideraremos apenas ângulos positivos e estabeleceremos o sentido anti-horário para medi-los. Ao movimentar o ponto D horizontalmente, modifica-se o tamanho do raio da circunferência, e ao movimentarmos o ponto C, os valores do ângulo DOC, denominado aqui pela letra grega α, são alterados.

No capítulo sobre razões trigonométricas a definição de tangente foi dada pela razão entre o seno e o cosseno do ângulo α, porém, a exemplo do que fizemos com o cosseno e com o seno do ângulo α, vamos agora representar a tangente no ciclo trigonométrico.

Na construção 2 o ponto P é obtido como interseção entre a reta t, que tangencia o ciclo trigonométrico no ponto D, e a semirreta OC, de modo que sua ordenada corresponde ao comprimento do segmento PD.

Passamos a definir o ciclo trigonométrico como a circunferência centrada na origem do plano cartesiano, de raio igual a 1, utilizada para definir os valores das razões trigonométricas de um ângulo qualquer. Nele ângulos tomados no sentido anti-horário possuem medida positiva e aqueles tomados no sentido horário possuem medida negativa.

Vimos, nas representações acima, que as relações trigonométricas antes estabelecidas no triângulo retângulo, também podem ser obtidas através de uma outra formalização construída a partir do ciclo trigonométrico. Na próxima atividade, vamos nos aprofundar sobre o significado das razões trigonométricas para ângulos maiores que 90°.