Kombinatorik
Zählstrategien am Urnen-Experiment
Die Laplace'sche Definition einer Wahrscheinlichkeit ist .
Doch wie viel günstige oder wie viel mögliche Versuche gibt es? das ist oft gar nicht so einfach herauszubekommen. Dabei können die folgenden Formeln der Kombinatorik eine große Hilfe sein.
Es gibt zwei Zufallsexperimente, die in der Wahrscheinlichkeit besonders gerne für Erklärungen herangezogen werden, weil sie anschaulich leicht zu verstehen sind. Das Würfeln und das Ziehen von Kugeln aus einer Urne. Die Rechenregeln der Kombinatorik kann man sehr schön mit dem Urnenbeispiel veranschaulichen:
Fakultät: Anzahl möglicher Vertauschungen
In einer Urne liegen unterschiedliche Kugeln ( ist dabei eine beliebige natürliche Zahl). Diese Kugeln werden nun alle nacheinanderaus der Urne geholt. Wie viel unterschieliche Möglichkeiten gibt es dabei?
Die Antwort ist: Es gibt n-Fakultät Möglichkeiten:
Weil diese Rechnung so oft vorkommt, hat sie einen eigenen Namen (Fakultät) und ein eigenes Zeichen, das Ausrufezeichen.
Beispiel: Sie haben zuhause 8 Gäste eingeladen und überlegen sich, wie sie die Platzkarten hinlegen sollen. Wie viel verschiedene Möglichkeiten gibt es 8 Personen auf 8 Stühle zu verteilen (wobein immer nur eine Person auf einem Stuhl sitzen darf).
Es sind Möglichkeiten. (Hätten Sie das gedacht?)
Variationen - Ziehen mit Zurücklegen mit Reihenfolge
In einer Urne sind verschiedene Kugeln. Es wird -mal eine Kugel gezogen und wieder in die Urne zurückgelegt. Wie viel verschiedene Ergebnisse kann es dabei geben?
Da es bei jedem Mal Ziehen genau mögliche Ergebnisse gibt, ist die Antwort hier einfach:
Beispiel: Diese Zählweise kann zum Beispiel bei der Generierung von Passwörtern angewerndet werden. Wenn für ein Passwort alle Buchstaben des Alphabets einschließlich der Umlaute ä,ö und ü verwendet werden dürfen, dann gibt es mit Groß- und Kleinschreibung 58 verschiedene Zeichen. Für ein Passwort mit 5 Buchstaben gibt es also verschiedene Möglichkeiten.
Permutation: Ziehen ohne Zurücklegen mit Reihenfolge
Gegeben sind verschiedene Kugeln in einer Urne und es wird mal eine Kugel gezogen ohne diese wieder zurückzulegen. Dann lautet die Anzahl der Möglichkeiten:
Beispiel: Stellen Sie sich vor, in einer Urne sind 26 Kugeln, von denen jede einem Buchstaben unseres Alphabets entspricht. Sie dürfen nun 5 Kugeln ziehen, ohne diese wieder zurückzulegen. Wie viel verschiedene Wörter bzw. Buchstabenfolgen können dabei entstehen?
Es sind verschiedene Möglichkeiten
Kombination: Ziehen ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge
Es gibt Kugeln in einer Urne und es werden Kugeln gezogen, aber nicht wieder zurückgelegt. Die Reihenfolge der Zahlen ist aber unwichtig. Für diesen Fall lautet die Antwort: Die Anzahl der Möglichkeiten ist "n über k":
Weil auch diese Rechnung so oft vorkommt, hat sie ein eigenes Symbol und einen eigenen Namen: Binomialkoeffizient oder einfach "n über k".
Beispiel: Das wohl bekannteste Beispiel hierfür ist das Lottospiel "6 aus 49". Von 49 Kugeln werden 6 gezogen. Die Reihenfolge, in der die 6 Zahlen gezogen werden, die ist für den Gewinn egal.
Kombination mit Wiederholung: Ziehen mit Zurücklegen ohne Reihenfolge
In einer Urne befinden sich verschiedene Kugeln und es darf -mal gezogen werden. Die Reihenfolge, in der die Kugeln gezogen werden, ist aber egal. Hier darf das auch größer sein als das , weil die Kugel nach jedem Ziehen wieder in die urne zurückgeworfen wird. Auch hier gibt es eine Rechenvorschrift: "n pus k minus 1 über k":
Also:
Beispiel: Sie gehen in ein Eiscafé und möchten Einen Eis-Becher mit k=2 Kugeln haben. Es gibt n=10 verschiedene Eissorten. Wie viel Möglichkeiten gibt es dafür?