Graph des Tangens entdecken

Einführung Nachfolgend sehen Sie den Einheitskreis und die blaue Strecke, deren Länge dem Wert des Tangens zum Winkel b (im Bogenmass) enspricht. Zur Erinnerung: 1) Wegen dem 2. Strahlensatz gilt am Einheitskreis: y/x = Länge blaue Strecke/1 = Länge blaue Strecke. 2) Gemäss Definition gilt am Einheitskreis: tan(b) = y/x Wir kommen also zum Schluss, dass tan(b) = y/x = Länge blaue Strecke. Als wir den Graphen der Sinusfunktion vor ein paar Lektionen erforschten, haben wir jeweils die Strecke y im Einheitskreis in ein zweites Koordinatensystem (rechts) übergetragen. Dasselbe werden wir jetzt mit dem Tangens tan(b) tun.

1) Instruktionen Verschieben Sie den Punkt P, um damit den Winkel b zu verändern. Beobachten Sie, wie die blaue Strecke, also der tan(b) sich in Abhängigkeit vom Winkel b verändert und wie im rechten Koordinatensystem der tan(b) bei verschiedenen Winkelmassen b (

[0,2

]) mitwandert (Aufgabe 1). Beantworten Sie im Anschluss die Fragen 2-11, die unterhalb der Koordinatensysteme folgen. Hinweis: Sie können mit dem "reload" Knopf jederzeit den ursprünglichen Zusand wiederherstellen.

2) Für welche Winkel b (im Bogenmass) gilt tan(b) = -1?

3) Was geschieht mit dem tan(b) wenn der Winkel b sich von b=0 her kommend /2 nähert?

4) Warum springt die blaue Strecke beim Überschreiten vom Winkel b=/2 plötzlich nach unten in den 4. Quadranten? Argumentieren Sie graphisch.

5) Platzieren Sie den Punkt P(x,y) in den 3. Quadranten. Warum ist der tan(b) für diesen Winkel b positiv? Argumentieren Sie hier mithilfe der Definition des Tangens.

6) Für welche Winkel b ist der Funktionswert tan(b) negativ?

7) Notieren Sie den Definitions- und Wertebereich der Tangensfunktion. Gehen Sie hierbei davon aus, dass Sie auch Winkel ausserhalb des Intervalls [0,2] berücksichtigen dürfen.

8) Kreuzen Sie alle Antworten an, die für die Tangensfunktion zutreffen:

Wähle alle richtigen Antworten aus

A
Die Tangensfunktion ist nicht periodisch.
B
Die Tangensfunktion ist periodisch.
C
Die Tangensfunktion ist auf dem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend.
D
Die Tangensfunktion ist auf dem gesamten Definitionsbereich nicht monoton, also insbesondere auch nicht streng monoton steigend.

Antwort überprüfen (3)

9) Falls Sie in der vorangehenden Aufgabe die Funktion als periodisch markiert haben, geben Sie die Periode an.

10) Begründen Sie Ihren Entscheid bei der Multiple Choice-Frage (Aufgabe 8) zur Monotonie.

11) Skizzieren Sie auf einem Blatt den Graphen der Tangensfunktion für das Intervall b[].

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