Teorema de Ptolomeo
Para ver el cociente de las diagonales, basta descomponer el cuadrilátero en dos triángulos por sus diagonales de las dos formas posibles, y calcular su área en función de los lados de estos triángulos y del radio R de la circunferencia circunscrita a ambos:
S=△ABC+△ACD=(abe)/(4R) + (cde)/4R=(ab+cd)e/(4R)
S=△ABD+△ABD=(adf)/(4R) + (bcf)/4R=(ad+bc)f/(4R)
Dividiendo ambas igualdades queda
e/f=(ad+bc)/(ab+cd)
Multiplicando dividiendo por la igualdad del Teorema de Ptolomeo, se obtienen las diagonales de un cuadrilátero cíclico en función de los lados:
e²=(ac+bd)(ad+bc)/(ab+cd)
f²=(ac+bd)(ab+cd)/(ad+bc)