Die Herleitung der Eulerschen Zahl
Aufgabe 1:
Betrachtet wird die Exponentialfunktion .
a) Ermitteln Sie die Steigung der Funktion in drei beliebigen Punkten, indem Sie den Schieberegler bewegen.
b) Aktivieren Sie nun den Punkt . Die y-Koordinate des Punktes gibt die Steigung im Punkt an. Bewegen Sie nun den Schieberegler hin und her, sodass durch die Spur von zusammenhängende blaue Punkte entstehen. Skizzieren Sie die entstandene blaue Spur auf dem Lösungsblatt.
c) Beschreiben Sie, welche Beziehung zwischen den blauen Spurpunkten und der Funktion besteht. Stellen Sie eine Vermutung auf, welcher Funktionstyp durch die blauen Spurpunkte entstanden ist.
Brauchen Sie einen Tipp für die Teilaufgabe c)?
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Aufgabe 2:
Betrachtet wird nun die Exponentialfunktion .
a) Bewegen Sie wieder den Schieberegler, um die Spur des Punktes zu erhalten (zur Erinnerung: Die y-Koordinate des Punktes gibt die Steigung im Punkt an). Skizzieren Sie die entstandene blaue Spur auf dem Lösungsblatt.
b) Vergleichen Sie die entstandene blaue Spur mit der blauen Spur aus Aufgabe 1, indem Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede benennen.
Brauchen Sie einen Tipp für die Teilaufgabe b)?
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qr-lernhilfen.de/mobileUrl?url=18b9efa2394a47eaAufgabe 3:
Sie haben bereits die Ableitungsfunktionen der Exponentialfunktionen mit der Basis 2 und 4 kennengelernt.
a) Begründen Sie mithilfe von Aufgabe 1 und Aufgabe 2, warum es eine Exponentialfunktion geben muss, die mit ihrer Ableitung übereinstimmt.
b) Betrachtet wird nun eine beliebige Exponentialfunktion der Form und deren Ableitungsfunktion . Die Basis kann mit dem Schieberegler verändert werden.
Bestimmen Sie mithilfe des Schiebereglers die Basis der Exponentialfunktion, die mit ihrer Ableitung übereinstimmt auf zwei Nachkommastellen genau.
Aufgabe 4 (für Schnelle):
Gegeben ist die Funktion . Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion .
a) (Hinweis: e steht für den Wert, den Sie in Aufgabe 3b) herausgefunden haben).
b)
c)
d)
e)
f)
g)