Experiment 3Pkt-Kreisbüschel
Man beachte den Nachtrag Mai 2022 unten!
Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene.(Januar 2020)
Dieses Arbeitsblatt ist auch Teil des GeoGebra-books Sechsecknetze
Der Satz von Graf u. Sauer besagt, dass ein aus Geraden gebildetes 6-Eck-Netz aus den Tangenten einer Kurve 3. Klasse besteht. Im einfachsten Fall erhält man ein geradliniges 6-Eck-Netz aus den Geraden dreier Geradenbüschel durch je 3 Punkte. Dies ist der Ausgangspunkt für folgendes Experiment: aus den Geraden der 3 Büschel wird ein Sechseck gebildet: es besteht aus 7 Punkten und 9 Geraden, die sich in 6 weiteren Punkten schneiden. Nimmt man auf einer der Geraden einen weiteren, beweglichen Punkt P0 hinzu, so läßt sich das Netz fortsetzen, wobei die neu hinzukommenden Geraden nicht mehr zu den Geraden-Büscheln gehören müssen! Wenn es ein 6-Eck-Netz ergibt, müssen die Geraden Tangenten an eine Kurve 3. Klasse sein! Siehe die Aktivität zuvor!Für 6-Eck-Netze aus Kreisen ist ein solches Experiment wesentlich komplizierter!
Beginnt man beispielsweise mit den Kreisen dreier Kreisbüchel, die parweise einen Punkt gemeinsam haben,
so muss man berücksichtigen, dass ein Kreis erst durch 3 Punkte festgelegt wird.
Beginnt man mit einem 6-Eck aus den Kreisen aus den 3 Büscheln, so muss man 5 + 5 +5 Kreise aus den drei Büschel
und die 37 entstehenden Schnittpunkte konstruieren, bis man durch einen weiteren beweglichen Punkt E1
auf einer der Kreise das Netz unabhängig von den vorgegebenen Kreisbüscheln fortsetzen kann.
Das Ziel ist ein Hinweis auf Bedingungen für das Vorliegen eines 6-Eck-Netzes aus Kreisen.
Aus dem Experiment oben entnimmt man nur vage die Existenz von Hüllkurven.
Diese können auch imaginär sein (die Kreise einer solchen Schar schneiden sich nicht).
Überdies können sich Rundungsfehler bei einer solch langen Kette von quadratischen Schnittpunktsberechnungen
chaotisch auswirken! Einige Schnittpunkte scheinen in obigen Applet auch verloren gegangen zu sein,
im offline-Applet sind diese Schnittpunkte noch vorhanden!
Beim Applet auf der nächsten Seite treten weitere Komplikationen auf:
- die durch 3 Punkte definierten Kreise werden für zu Geraden - theoretisch! Praktisch werden sie in geogebra zu
"doppelten Tangenten durch " und blockieren das Applet!!
- die 6-Eck-Konfiguration zu Beginn besteht aus 2*37 Punkten! Die Kreise und Geraden schneiden sich jeweils in 2 Punkten!
Beachtet man dies bei der Konstruktion nicht, so kann eine kleine Änderung durch Wechsel der Schnittpunkte
auf die "andere" Seite das Bild erheblich durcheinanderbringen!
Nachtrag Mai 2022
In den vorausgegangenen Experimenten wurden die "kleinsten Einheiten" eines 6-Eck-Netzes aus Geraden erweitert:
Die kleinsten Einheiten eines Geraden-6-Eck-Netzes bestehen aus 3*3 Geraden und 13 Schnittpunkten.
Erweitert wird ein solches "kleinste" Netz durch einen weiteren Punkt auf einem der Geraden, und die damit entstehenden
weiteren Verbindungsgeraden und deren Schnittpunkte.
Es scheint in diesen Experimenten tatsächlich so zu sein, dass die erweiterten Netze weiter 6-Eck-Netze sind!
Überprüft man die Schließungsbedingung für die entstehenden neuen 6-Ecklagen, so stimmen die 3 Schnittpunkte
im Schlusspunkt eines erweiterten 6-Ecks meist bis zur 15.-ten Nachkommastelle überein, obwohl mit Rundungsfehlern
gerechnet werden muss. Erweiterung von Geraden-6-Ecks-Netzen.
Die entstehenden 6-Ecknetze, wenn sie denn solche sind, bestehen aus den Tangenten einer Kurve 3. Klasse,
und sie stimmen mit dem Ausgangs-Netz in der kleinsten Einheit" überein.
Bei der Erweiterung von 6-Eck-Netzen aus Kreisen wollten wir experimentell einen ähnlichen Zusammenhang erkunden.
Eine "kleinste Einheit" aus Punkten und Kreisen eines 6-Eck-Netzes besteht aus 3*5 Kreisen und 37 Schnittpunkten.
Leider hatten wir versäumt, die 6-Eck-Bedingung für Erweiterungen zu überprüfen:
in allen neuen Versuchen, in welchen wir die Schließungsbedingung rechnerisch überprüft haben, scheint eine
Erweiterung nur dann ein 6-Eck-Netz zu ergeben, wenn der zusätzliche Punkt zum ursprünglichen 6-Eck-Netz gehört!
Neue 6-Eck-Netze konnten auf diesem Wege nicht gefunden werden!
Unten: das Applet oben ergänzt!
Rechts:
Die kleinste "Einheit" eines 6-Eck-Netzes aus Geraden besteht aus 3*3 Geraden und deren 13 Schnittpunkten.
Oben liegt ein 6-Eck-Netz aus 3 Parallelen-Büscheln vor, betrachtet als "Kreise" haben diese noch den Schnittpunkt
gemeinsam.
Erweitert man das "kleinste Netz" um einen weiteren Punkt q auf einer der Netz-Geraden, so entsteht aus den zusätzlichen Schnittpunkten und geeigneten Verbindungsgeraden ein Netz, für welches die 6-Eck-Schließungsbedingung
rechnerisch erfüllt zu sein scheint.
Bei allen Experimenten dieser Art mit Geraden-6-Eck-Netzen haben wir dieselbe Erfahrung gemacht - wir vermuten
- Die Erweiterungen von endlichen Geraden-6-Ecknetzen sind wieder 6-Eck-Netze aus Geraden.
Als solche bestehen sie aus den Tangenten einer Kurve 3. Klasse.
Links:
Die "kleinste Einheit" des angezeigten 6-Eck-Netzes aus Kreisen - im vorliegenden Fall sind dies die Kreise
von 3 elliptischen Kreisbüschel mit jeweils einem gemeinsamen Pol - besteht aus 3*5 Kreisen und 37 Schnittpunkten
Im Gegensatz zu der Erweiterung von Geraden-Netzen fanden wir bei Kreis-Netzen keine weiteren 6-Ecknetze,
es sei denn, die Erweiterung ist eine Fortsetzung des vorhandenen 6-Eck-Netzes.
Der zusätzliche Punkt q ist dann ein Punkt p des 6-Eck-Netzes der drei Kreisbüschel.