Chico y chica quedan, ejercicio de probabilidad
EL PROBLEMA Y UNA PRIMERA APROXIMACIÓN
Introducción: el problema
El problema lo planteó un amigo en Twitter:
Un chico y una chica van a quedar en un intervalo de una hora, creo recordar que entre las 6 y las 7.
El chico cuando llegue esperará 20' y si la chica no está o no llega se irá.
La chica cuando llegue esperará 10' y si el chico no está o no llega en ese intervalo se irá.
¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren y puedan charlar y divertirse juntos?
PRIMERA APROXIMACIÓN:
Inicialmente lo pensé haciendo uso de las funciones de densidad f(x)= y g(x) = , asociadas a la distribución uniforme en el intervalo [0, 60] y correspondientes a la probabilidad asociada al intervalo de llegada del chico y de la chica, respectivamente.
Es una aproximación totalmente clásica, pero no está al alcance de alumnos de bachillerato.
Probabilidad =
SEGUNDA APROXIMACIÓN:
SEGUNDA APROXIMACIÓN:
Consiste en analizar el problema de forma geométrica en el plano bidimensional.
La historia es básicamente igual a la "primera aproximación" que hace uso de las funciones de densidad, pero mucho más intuitiva (ver applet más abajo). Además lo pueden entender alumnos de bachillerato, al menos los del último curso si el profesor hace de guía y de maestro de ceremonias.
En el eje de abscisas se registra la hora de llegada del chico (en el intervalo 0 a 60, minutos se entiende) y en el eje vertical la hora de llegada de la chica (en el mismo intervalo temporal).
La aplicación muestra, en función de los momentos de la posible llegada del chico (eje horizontal) y, en el segmento vertical, las horas de la chica que implicarían un final feliz: coincidencia de los dos, ...
La probabilidad real de esta historia se obtiene dividiendo el área favorable (una especie de región factible) entre el área tota de todos los posibles resultados (60x60 = 3600, área del cuadrado).
Se puede mover el punto P (tiempo de llegada del chico) para ver el margen de tiempos de llegada de la chica que llevan a un final feliz.
Ojo: si este final feliz no se produce no es por culpa de la chica, simplemente es porque no han coincidido y además hay que advertir que se habría podido poner en el eje de abscisas el tiempo de llegada de la chica y en el vertical el del chico: la cosa cambia un pelín, pero el resultado, lógicamente, es el mismo y, además, a alumnos de bachillerato, una vez explicado el enfoque que aquí comentamos, se les puede proponer que lo hagan al revés: chica en el eje X y chico en el eje Y.
Al hilo de la conversación que suscitó todo esto en Twitter, debo comentar que fue el profesor Pepe Tárrega el que primero publicó este enfoque geométrico del asunto.
TERCERA APROXIMACIÓN: SIMULACIÓN CON GEOGEBRA (Método Monte-Carlo)
TERCERA APROXIMACIÓN: SIMULACIÓN MÉTODO MONTE-CARLO
Una simulación nunca proporciona un resultado definitivo, pero permite corroborar la validez de un resultado obtenido por otros métodos.
También sirve para encontrar soluciones muy aproximadas de problemas que no admiten, por diversas razones, una solución exacta.
Al intentar resolver este problema usando la primera aproximación que comento al principio diseñé una simulación con Geogebra para contrastar resultados. Comprobé mi resultado teórico no coincidía con los resultados de la simulación empírica. Eso me obligó a revisar el asunto y comprobé que con las prisas había cometido un error de cálculo (un error tonto, pero, en cualquier caso, un error).
Conviene tener en cuenta que Geogebra, siendo una gran herramienta, no es la mejor para este tipo de cosas (simulaciones), pero, en cualquier caso, funciona bien, es fácil de programar y tiene un gran valor didáctico.
No comento los detalles del archivo, pero básicamente la historia consiste en lanzar puntos aleatorios en un cuadrado de medidas 60x60 y calcular la proporción de los que caen en la zona que es solución del problema ( comentada en el apartado anterior).
La simulación descansa en un slider (deslizador), "i", con un Geogebra-script (On Update) nada complicado y en tres botones, cada uno con su Geogebra On-Click script, no demasiado complicado. Se puede ver, descargar y experimentar.
Indudablemente los códigos son mejorables, pero ya no me voy a entretener más con este ejercicio. Lo publico por si a alguien le puede ser útil y quiere analizar los archivos.
Una observación: este tipo de historias con scripts basados en la modificación de un deslizador obliga a poner una velocidad del deslizador lenta. Si la pones rápida el deslizador avanza y los script asociados al deslizador no se ejecutan todos (en lugar de las 200000 simulaciones previstas, puedes quedarte en la práctica solo con la tercera parte o menos); así que paciencia.
Si se ejecuta localmente en tu ordenador en lugar de en la web se puede ir más rápido.