0710 Az elpattanás szöge és a párhuzamossági távolság
Feladat:
Legyen adott az a egyenes és a rá nem illeszkedő P pont. Milyen kapcsolat van a P pontnak az a egyenestől mért d távolsága és a P-ből a-ra bocsátott merőlegesnek és a P-n átmenő a-val egyirányú egyenesnek a szöge között?
Előzetes megjegyzés:
A világhírű matematikusok legtöbbjének a nevéhez fűződik egy-egy nevezetes képlet. Bolyai János nevéhez a másképpen alakban leírt összefüggés kapcsolódik, ahol d egy adott H-egyeneshez és egy erre nem illeszkedő ponthoz tartozó H-távolság, ‑ az un. párhuzamossági távolság, α az a egyeneshez és P ponthoz tartozó elpattanás szöge: a P-ből a-ra bocsátott merőlegesnek az a-hoz húzott aszimptotikusan párhuzamos (egyirányú) egyenessel bezárt szöge.
A feladatunk lényegében az, hogy megvizsgáljuk, miként tükröződnek ezek az összefüggések a P-modellen.
Megoldás:
Mivel az a egyenest a végtelen távoli pontjaival adtuk meg, könnyen megszerkeszthetők a P -re illeszkedő, a-val egyirányú félegyenesek is.
Most 4 tizedesjegynyi pontosan írattuk ki az adatokat, de ez átírható maximális pontosságúra is. A kétféleképpen előállított adatok között nem nagyobb az eltérés 10-13-nál. Ez természetesen nem igazolja az összefüggéseket, legfeljebb megerősíti a sejtésünket.
Az igazolásához Bolyai János zseniális bizonyítása kellett.
Elemzés:
Javasoljuk olvasóinknak, hogy vizsgálják meg, melyek azok a numerikus értékek, amelyek az egység megválasztásakor , és melyek azok, amelyek a P pont, vagy az a egyenes mozgatásakor változnak. A P pontot a jelölőnégyzet aktiválásával "rá lehet ültetni" az a egyenes egy adott hiperciklusára. Ekkor hogyan változnak a numerikus adataink?