体の仲間をふやそう
1.群と環の仲間の増やし方
このワークシートはMath by Codeの一部です。
同じ要素に＋と×があり、＋は群で×はモノイドになる集合が環だった。
そして、環の×算で、非ゼロなら単元じゃなくてもどれでも逆元があるものが体だったね。
つまり、＋も×も可換群で分配法則が成り立つものだという言い方もできる。
（例）有理数体Q、実数体R、複素数体C
（例）Fp＝（Z/(p),+,×) 素数ｐを法とする剰余類の体
（例）Zp＝（Z, +(mod p) ,×(mod p)) 素数ｐに対する剰余計算をする整数全体
体はK（Körper), F(Fields)などの頭文字K,Fを使ったりします。
図形は点の集合だ。
群、環、体は何かの集合だ。
図形を切ったりつけたりしても同じ仲間でいられることがある。
たとえば、長方形はたてに切り分けても長方形のままで、それを横に切り分けても長方形のままで、。。
のように、仲間を増やしていける。
大きさをそろえて並べることで、大きな長方形が作れたりするね。
群、環、体でも、同じ大きさに着目して、切ったり、つないだりするイメージで仲間を増やせるだろう。
＜群の仲間の増やし方＞
群Gの仲間を増やすにはどうしたか思い出してみよう。
・切り分ける増やし方
自分自身と単位元のような自明なもの以外にも部分群というものが作れることがあったね。
群の入れ子だ。
そして、部分群が正規なとき、（gN=Ngとなる群N、同じ型が分散せずに１つに入っている群N）とき、G▷Nと書き、Nを正規部分群と呼んだ。
たとえば、G={e, (1 2 3), (1 3 2), (1 2),(1 3),(1 2)}=S3のとき、(a b c)型が１つの収まる
N={e, (1 2 3),(1 3 2)}は位数も|G|=6の約数で、gN=Ngとなり、G/Nをすると、Nが加算の剰余０，残りT={(1 2),(1 3),(2 3)}が剰余１に対応する。G/NはZ2={0,1}、つまり、Z/2Zと同型になった。
つまり、GをNで割って、整数の割り算による剰余系と同じように、剰余群、商群が作れたね。
一般に、GからHへの準同型写像fがあるとき、fの核KerfがNの役割になり、G/Kerf とimfを同型にできた。
群によってはこの割り算による分解が連続できる複雑なしくみをもつものがあったね。
分解できるものは正規列が作れた。
Dn▷Cn▷1（二面体群、巡回群、単位群）
S3▷D3▷1（対称群、二面体群、単位群）
S4▷A4▷V4▷１（対称群、交代群、クラインの４元群、単位群）
一方で、正規列がない単純な群があった。
５次の交代群（５次の対称群の半分）A５が単純群であることから、５次以上の交代群Anも単純群であることが、数学的帰納法で証明できるということも学んだね。
・くっつける増やし方
群を成分のようにして、２つ並べる、
つまり、群の直積というやり方でも新しく群が作れたね。
たとえば、ｘ∈Z2とｙ∈Z3を並べた(x,y)は、(0,0)に１ずつたすと2×３＝６回たして初めてもとにもどり、
巡回群C6と同型な群が作れた。
また、有限アーベル群の構造定理という便利なものがあったね。
今の直積とは逆に、位数に着目して、直積に分解できるというやつだった。
位数が素数ｐのべきの可換群は、巡回群の直積による群と同型になるというものだった。
たとえば、位数p4の可換群は次の５種類がありえた。
Cp4, Cp3×Cp, Cp2×Cp2,Cp2×Cp×Cp,Cp×Cp×Cp×Cp
＜環の仲間の増やし方＞
・くっつける増やし方
係数Kを使ったｐの多項式の集合をK[p]で表現した。
環Kにｐを添付して拡大した環のことだったね。
R[√2]=a√2+b(a,b∈R）は環Zに√2を添付した環。
Z[]=a 2+b +c (a,b,c ∈Z)は環Zに を添付した環。
ガウス整数Z[i]は環Zにiを添付した環。
アイゼンシュタイン整数Z[ω]は環Zにωを添付した環だね。
環に要素ｐを追加することで、線形空間（ベクトル）として要素をおく次元、成分数が増えただけで、係数はもとの環のものが使えている。だから、群と群の直積と似ている。＋算はまさに直積と同様。×算では、成分をまたがる計算も出てくるが、環のルールから外れることはない。
R={ｘ＋ ｙ| x,y∈Z }は、一見２次元で成分が収まるように見えても、×算で、 の２乗の成分が必要になるから、次元が足りないので、環になれない。
このように環の添付拡大では、線形空間の次元の発想も大切になったね。
・切り分ける増やし方
環も群と同じように、割り算で環が増やせた。
群の正規部分群と同じように、環のイデアルでわると剰余環、商環ができた。
＜Z[i]/(1+i),＋,☓＞＝{[0],[1]}も商環。ガウス格子点の２色ぬりわけ。
＜Z[ω]/(1-ω),＋,☓＞＝{[-1],[0],[1]}も商環。アイゼンシュタイン格子点の３色ぬりわけ。
＜Z[x]/(1+x2),＋,☓＞= Z[i] も商環。整数係数の多項式がax+b (g(x)∈Z[x], a,b∈Z)に分類されたね。
わるのが素元のイデアルで、環がユークリッド整域なら、環が体に格上げされた。
Z[x]はユークリッド整域で、x+1は素元だから、Z[X]/(x+1)は体。
Z[i]はユークリッド整域で、７は素元だから、Z[i]/(７)は体。
Z[ω]はユークリッド整域で、2は素元だから、Z[ω]/(2)は体。
Zはユークリッド整域で、３は素元だから、F3=Z/(3)は体。
２．体の仲間の増やし方
＜体の入れ子＞
体Lの部分集合Kが体であるとき、L/Kとかき、LがKの拡大体、KがLの部分体といいます。
L/Kが体の拡大なら、LはK上のベクトル空間とみることができてその次元ｄ＝[L:K]とかき、ｄをLのK上の拡大次数といいます。L/Kのｄ次拡大です。ｄが有限なら有限次拡大といい、ｄが無限大なら無限次拡大という。
３つの体K,M,Lがあり、L/M, M/Kのとき、サンドイッチの真ん中部分の体MをL/Kの中間体といいます。
Mが２点L,Kの中点という感じの言葉遣いですね。
体の拡大 に対して、拡大次数[L:K]=[L:M]×[M:K]が成り立つ。
（例）
/, / だから、は/ の中間体です。
＜くっつける増やし方＞
・要素の添付による拡大
有理数体 にそれに属さない要素√2を添付した体を (√2)とかく。
２つのイメージがあるでしょう。
の要素と要素√2の和・差・積・商どれをやっても収まる体。
の拡大で√2も含む最小の体。
でも、結果的には環の拡大と同様な記法、係数を使った√2の多項式の集合 [√2]と同じです。
添付する要素が１つの拡大を単純拡大という。
（例）
K= (√2)= [√2]={a+b√2 | a,b∈Q}は体。
Kが環であることは省略。
×算のイチ元は１=1+0√2∈K
x＝a+b√2≠0∈Kに対して
逆元x-1=は1/(a+b√2)=(a-b√2)/(a2-2b2)=a/(a2-2b2) +(-b/(a2-2b2))√2より、
√2の多項式とみたときの係数は∈Qだから、ｘ-1∈Kになる。
（例）
F= (i)= [i]={a+bi | a,b∈Q}は体。
Fが環であることは省略。
ｘ算のイチ元は１＝1+0i∈F
ｘ＝a+bi≠0∈Fのとき。（つまり、a=b=0ではない。）
ｘの逆元x-1=1/a+bi=(a-bi)/(a2+b2)=a/(a2+b2)+(-b/(a2+b2))i∈Fになる。
＜多項式に連動する増やし方＞
L/Kが体の有限次拡大でa∈Lとする。
f(x)∈K[x]で、f(a)=0となるものがあればaはK上代数的、短く言うと、K代数
（ないならaはK上超越的、K超越という。）
・aがK代数で、f(x)がモニックなとき、
f(x)はg(a)=0を満たす0でないg(x)∈K[x]の中で最小次数の多項式で、最小多項式という。
言い換えると、f(x)はK上既約、短く言うと、K既約だ。
また、g(a)=0となるg(x)∈K[x]はf(x)の倍数とも言える。
・aがK代数ならK[a]=K(a)だ。最小多項式f(x)の次数がd(=degf(x))ならば、dはaのK上の次数で、
K[a]はK上のベクトル空間としてｄ次元である。拡大次数[K(a):K]＝d。
・Lのすべての元ｘがK代数ならL/Kを代数拡大といい、それ以外を超越拡大という。
・L/Kが有限次拡大なら代数拡大。
・特に、aがK代数なら単純拡大K(a)=K[a]は代数拡大。
つまり、K代数なaをKに添付すれば、K(a)のどの元ｘもK代数、つまり、代数拡大ができる。
（例）
a=√2∉Qが、Q[x]の多項式で、f(a)=a2-2＝0となるものがある。f(x)=x2-2がQ上既約、最小多項式で２次。
aはQ上の代数方程式の解だから、aはQ上代数的。
だから、単純拡大Q(√2)=Q[√2]は代数拡大、[Q(√2):Q]=2で、Q(√2)={a+b√2 | a,b∈Q}。
代数拡大ということは、Q(√2)のどの元ｘ=a+b√2もf(x)=0の解となるQ上の方程式があることになる。
（例）
b=i∉Qが、Q[x]の多項式で、f(b)=b2+1=0となるものがある。f(x)=x2+1がQ上既約、最小多項式で２次。
bはQ上の代数方程式の解だから、bはQ上代数的。[Q(i):Q]=2で、Q(i)={a+bi | a,b∈Q}
c=π∉Qは、Q[x]の多項式で、f(c)=0となるものがない。ｃはQ上超越的。
（例）
a=√2+√3のQ上の最小多項式f(x)を求める。
f(x)はQ上既約で、g(a)=0となるg(x)の因数でもある。(a-√2)2=3だから、a2-2√2a=1。
a2-1=2√2aとして、両辺２乗する。a4-2a2+1=8a2。aはf(x)=x4-10x2+1の解。
f(x)を１次×３次、２次×２次と因数分解できたと仮定して係数比較しても整合性のある因数はないことが
確認される（計算略）。だから、f(x)はQ上既約で、最小多項式だね。
f(x)の次数は４だから、拡大次数[Q(√2+√3):Q]=4だね。
Q(a)=Q[a]={p+qa+ra2+sa3|p,q,r,s∈Q}
（例）
a= のQ上の最小多項式f(x)を求める。
f(x)が既約になればよい。a3=2だから、f(x)=x3-2。f(x)が１次×２次と分解できるとして、-2の約数をf(x)
に入れても0にならない。だから、Q上既約。f(x)の次数は３次だから、拡大次数[Q(a):Q]=3だね。
Q(a)=Q[a]={p+qa+ra2|p,q,r∈Q}
＜切り分ける増やし方がくっつける増やし方になる＞
・写像ｆ：環V→環W; x →f(y) とするとき、
f(x+y)=f(x)+f(y), f(x×y)=f(x)×f(y),f(イチｖ)=イチｗ
が成り立つとき、ｆは準同型写像といったね。
・環と同じように、体Kの積、和、イチを保存すれば、準同型写像といい、全単射なら同型写像といい、
K自身への写像なら体Kの自己同型写像といい、AutKと書いたりする。
・aのK上の最小多項式f(x)で、K[x]を割った商環はK(a)と同型になる。これを商体という。
K[x]/f(x)K(a)
ユークリッド整域Zを素元pで割った商環が剰余系の体Fpと同型な商体になったことに類似しているね。
つまり、要素をくっつけて作る拡大体が、最小多項式で割った商体とぴったり重なるということだね。
(例)
p=のとき、体の同型写像ｈ：Q[X]/(x3-2) ->Q[] ; ax2+bx+c→a 2+ b +c
p=√2のとき、体の同型写像ｈ：Q[X]/(x2-2) ->Q[√2] ; ax+b→a√2+b
p=i のとき、体の同型写像ｈ：R[X]/(x2+1) ->R[i] ; ax+b→a i +b (複素数体と同型！）
まあ、ｘ2+1の商環を考えるということは、核で割ると同等なので、x2+1=0で割ると同じ働きになっているいうことだね。
質問：体の同型写像の見える化をコードでやるにはどうしたらよいでしょうか。
最小多項式f(x)の次元をｄとすると、
係数体Kに対する多項式環K[X]/f(x)の商体の拡大次元もｄになります。
だから、ｘのｄ次曲線h(x)で視覚化できます。
また、最小多項式＝０の解をpとすると、h(p)の値がK[p]の要素として数値化できます。
だから、h(x)の係数を変化させることで、連動性が生まれるでしょう。