Básicamente, tenemos una serie de eventos que han ocurrido en un determinado momento y es en base a esos eventos que vamos “rellenado” lo que pudo haber sucedido de por medio.[br][br]

[justify]Dependiendo de los eventos conocidos, nuestras conjeturas pueden ser muy acertadas y aunque siempre existe un margen de error y aquel "relleno" que supusimos no sea 100% acertado, se trata de hacer lo mejor posible con la información con la que contamos. [/justify]

[justify]Esa es la premisa básica de la interpolación: Conocemos varios resultados de alguna función que resulta muy "complicada" de calcular y tratamos de calcular los valores que no sabemos únicamente en base a esos datos.[/justify]

[justify]Dada una serie de [math]n[/math] puntos de datos [math]\left(x_{1,}y_1\right),...,\left(x_n,y_n\right)[/math] donde se asume que todos los [math]x_k[/math] son distintas. La formula general para el polinomio de interpolación de Lagrage que describe un polinomio de grado [math]d=n-1[/math] o menor que interpola dichos puntos, esta dada por:[/justify][br][center][math]P_{n-1}\left(x\right)=y_1L_1\left(x\right)+...+y_nL_n\left(x\right)[/math][/center]

Donde para cada [math]k[/math] entre [math]1[/math] y [math]n[/math] los polinomios básicos de Lagrange:[br][br][center][math]L_k\left(x\right)=\frac{\left(x-x_1\right)\cdot\cdot\cdot\left(x-x_{k-1}\right)\left(x-x_{k+1}\right)\cdot\cdot\cdot\left(x-x_n\right)}{\left(x_k-x_1\right)\cdot\cdot\cdot\left(x_k-x_{k-1}\right)\left(x_k-x_{k+1}\right)\cdot\cdot\cdot\left(x_k-x_n\right)}[/math][br][/center]

Estos polinomios básicos de Lagrange se construyen con una propiedad: [math]L_k\left(x_k\right)=1[/math] y [math]L_k\left(x_j\right)=0[/math] donde [math]x_j[/math] es cualquiera de los otros puntos.[br][br]Nótese que al sustituir [math]x_k[/math] en [math]x[/math] se obtiene:[br][br][center][math]P_{n-1}\left(x_k\right)=y_1L_1\left(x_k\right)+...+y_nL_n\left(x_k\right)=0+0+...y_kL_k\left(x_k\right)+0+...+0=y_k[/math][/center]

y con ello aseguramos que el polinomio construido pase por los [math]n[/math] puntos de datos.

[justify]Supongamos que tenemos una serie de puntos con los cuales hemos construido el polinomio de interpolación [math]P\left(x\right)[/math] que pasa a través de ellos y que además, contamos con la función original [math]f\left(x\right)[/math] que genero dichos puntos. Entonces, el error de interpolación es la diferencia entre la función original y el polinomio de interpolación, evaluado en [math]x[/math]. Gráficamente es la distancia entre las gráficas de [math]f\left(x\right)[/math] y [math]P\left(x\right)[/math] evaluadas en alguna [math]x[/math]. [/justify]

[justify]El teorema que veremos a continuación nos proporciona una formula que nos dará más información sobre el error de interpolación el cual a menudo se puede acotar a un límite de error.[/justify]

Antes de enunciar y demostrar el Teorema para la Formula del Error en la Interpolación Polinomial es necesario un repaso con herramientas auxiliares que usaremos más adelante.[br][br][b]1.[/b] [b]Teorema de Rolle.[/b] Sea [math]f\left[a,b\right]:\longrightarrow\mathbb{R}[/math] una función continua en [math]\left[a,b\right][/math] derivable en [math]\left(a,b\right)[/math] y tal que [math]f\left(a\right)=f\left(b\right)[/math]. Entonces existe un número [math]\xi[/math] en [math]\left(a,b\right)[/math] tal que [math]f'\left(\xi\right)=0[/math].[br][br][b]2.[/b] [b]Teorema generalizado de Rolle. [/b]Sea [math]f\left[a,b\right]\longrightarrow\mathbb{R}[/math] una función de clase [math]C^n\left[a,b\right][/math] ([math]C^n[/math] representa a las funciones de clase continuas derivables [math]n[/math] veces) que se anula en algunos [math]n+1[/math] puntos del intervalo [math]\left[a,b\right][/math]. Entonces existe un número [math]\xi[/math] en [math]\left(a,b\right)[/math] tal que [math]f^{\left(n\right)}\left(\xi\right)=0[/math].[br][br][b]3. Sobre las derivadas de ordenes mayores de un polinomio. [/b]Sea [math]P[/math] un polinomio de grado [math]\le n-1[/math] :[br][math]P\left(x\right)=a_1+a_2x+...+a_nx^{n-1}[/math][br][br]Entonces su [math]\left(n-1\right)[/math]-ésima derivada es constante:[br][br][math]P^{\left(n-1\right)}\left(x\right)=\left(n-1\right)!a_{n-1}[/math],[br][br]y las siguientes derivas son cero:[br][br][math]P^{\left(n\right)}\left(x\right)=P^{\left(n+1\right)}\left(x\right)=P^{\left(n+2\right)}\left(x\right)=...=0[/math].

Sean [math]\left(x_1,y_1\right),...,\left(x_n,y_n\right)[/math] [math]n[/math] parejas de puntos con distintas [math]x_i[/math] pertenecientes a un intervalo [math]\left[a,b\right][/math] y sea [math]f\in C^n\left[a,b\right][/math]. Denotemos por [math]P[/math] al polinomio de interpolación (de grado [math]n-1[/math] o menor) que ajusta dichos [math]n[/math] puntos. Entonces para cada [math]x\in\left[a,b\right][/math] existe un número [math]\xi\in\left(a.b\right)[/math] tal que:[br][br][math]f\left(x\right)-P\left(x\right)=\frac{\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\cdot\cdot\cdot\left(x-x_n\right)}{n!}f^{\left(n\right)}\left(\xi\right)[/math][br][br][b]Demostración:[/b][br][br]Si [math]x[/math] es algún [math]x_k[/math] la ecuación se vuelve cierta ya que ambos miembros se vuelven [math]0[/math].[br]Para el caso donde [math]x\in\left[a,b\right]\ne\left\{x_1,x_2,...,x_n\right\}[/math] utilizaremos la siguiente función auxiliar:[br][br][math]g\left(t\right)=f\left(t\right)-P\left(t\right)-\left(f\left(x\right)-P\left(x\right)\right)\frac{\left(t-x_1\right)\left(t-x_2\right)\cdot\cdot\cdot\left(t-x_n\right)}{\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\cdot\cdot\cdot\left(x-x_n\right)}[/math] con [math]t\in\left[a,b\right]\ne\left\{x_1,x_2,...,x_n\right\}[/math] [br][br]Observemos que [math]g\in C^n[/math] y que [math]g[/math] se anula en [math]n+1[/math] puntos distintos [math]x_1,x_2,...,x_n[/math]. El Teorema generalizado de Rolle nos indica que existe un punto [math]\xi\in\left(a,b\right)[/math] tal que [math]g^{\left(n\right)}\left(\xi\right)=0[/math]. Calculando [math]g^{\left(n\right)}\left(\xi\right)[/math] usando la proposición sobre las derivadas de polinomios tenemos:[br][br][math]g^{\left(n\right)}\left(\xi\right)=f^{\left(n\right)}\left(\xi\right)-P^{\left(n\right)}\left(\xi\right)-\left(f\left(x\right)-P\left(x\right)\right)\cdot\frac{n!}{\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\cdot\cdot\cdot\left(x-x_n\right)}[/math] [br][br][math]P^{\left(n\right)}[/math] se anula por el teorema sobre las derivadas de ordenes mayores de un polinomio[br][br][math]0=f^{\left(n\right)}\left(\xi\right)-\left(f\left(x\right)-P\left(x\right)\right)\cdot\frac{n!}{\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\cdot\cdot\cdot\left(x-x_n\right)}[/math] [br][br]Al despejar [math]f\left(x\right)-P\left(x\right)[/math] obtenemos:[br][br][math]f\left(x\right)-P\left(x\right)=\frac{\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\cdot\cdot\cdot\left(x-x_n\right)}{n!}f^{\left(n\right)}\left(\xi\right)[/math] con lo que concluimos la demostración (Maximenko, s.f).[br]

El Teorema afirma la existencia de un número [math]\xi[/math] con la propiedad escrita, pero no proporciona ningún procedimiento cómodo para calcularlo. En la práctica se calcula:[br][br][math]M=max_{c\in\left[a,b\right]}\left|f^{\left(n\right)}\left(c\right)\right|[/math] [br][br]y se usa la siguiente cota superior del error:[br][br][math]\left|f\left(x\right)-P\left(x\right)\right|\le\frac{\left|\left(x-x_1\right)\cdot\cdot\cdot\left(x-x_n\right)\right|}{n!}M[/math]

[center][/center]En la tabla siguiente se muestran las emisiones de [math]CO_2[/math] (toneladas métricas per cápita) en México por año:[br][br][i]Tabla 1: Emisiones de [/i][math]CO_2[/math][i] en México[/i][br][table][tr][td]año[/td][td][math]CO_2[/math][/td][/tr][tr][td]1970[/td][td]2.192[/td][/tr][tr][td]1980[/td][td]3.870[/td][/tr][tr][td]1990[/td][td]3.731[/td][/tr][tr][td]2005[/td][td]4.299[/td][/tr][/table][justify]Nota. Recuperado del Centro de Análisis de Información sobre Dióxido de Carbono, División de Ciencias Ambientales del Laboratorio Nacional de Oak Ridge ( Tennessee, Estados Unidos ) por el Grupo Banco Mundial.[/justify][list=1][*]En las celdas A2-A5, introduce los puntos a interpolar.[/*][*]Construye el polinomio de interpolación de Lagrange con los puntos dados.[/*][*]En la celda A10, escribe la estimación de CO2 para el año 1995 (la emisión real fue 3.539) y en la celda A12 la estimación de CO2 para el año 2000 (la emisión real fue de 3.916).[/*][/list]

Debatamos en clase y observemos a que conclusiones podemos llegar con lo visto en éste libro.

Sauer, T. (2012), [i]Numerical Analysis.[/i] 2nd edn. Estados Unidos: Pearson.[br][br]Maximenko, E. (sin fecha), [i]Error de la interpolación polinomial. [/i]México. Disponible en http://esfm.egormaximenko.com/numerical_methods/polynomial_interpolation_error_es.pdf[br][br]Grupo Banco Mundial (sin fecha). [i]Emisiones de [math]CO_2[/math][/i] [i](Toneladas métricas per cápita).[/i]Disponible en https://datos.bancomundial.org/indicador/EN.ATM.CO2E.PC?end=2014&locations=MX-1W&start=1960&view=chart[br][br]