Circunferencia de los nueve puntos
Esta circunferencia, también llamada de Feuerbach, de un triángulo es la que pasa por los puntos medios de los lados, los pies de las alturas y por los puntos medios entre el ortocentro y cada uno de los vértices.
Comenzaremos dibujando un triángulo cualquiera ABC, sobre el que obtenemos los puntos medios D, E y F, de cada uno de los lados.
A continuación trazamos los pies de cada una de las alturas que son las proyecciones de cada uno de los
vértices sobre el lado opuesto. Estos puntos aparecen representados por G, H e I, en la imagen siguiente:
Ahora marcamos el ortocentro como punto de intersección de las alturas que ya aparecen en la imagen
anterior. Cambiamos el nombre del ortocentro para nombrarlo como O.
Por último, utilizando la herramienta Punto medio o centro, dibujamos los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro con cada uno de los vértices. Recordemos que no es necesario dibujar los segmentos.
Hemos obtenido los puntos J, K y L que aparecen representados en la imagen siguiente, en la que hemos ocultado las tres alturas.
Con ayuda de la herramienta Circunferencia por tres puntos al marcar tres puntos cualesquiera de los nueve anteriores (distintos de los vértices y del ortocentro), obtendremos la circunferencia de los nueve puntos.
A continuación trazamos los pies de cada una de las alturas que son las proyecciones de cada uno de los
vértices sobre el lado opuesto. Estos puntos aparecen representados por G, H e I, en la imagen siguiente:
Ahora marcamos el ortocentro como punto de intersección de las alturas que ya aparecen en la imagen
anterior. Cambiamos el nombre del ortocentro para nombrarlo como O.
Por último, utilizando la herramienta Punto medio o centro, dibujamos los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro con cada uno de los vértices. Recordemos que no es necesario dibujar los segmentos.
Hemos obtenido los puntos J, K y L que aparecen representados en la imagen siguiente, en la que hemos ocultado las tres alturas.
Con ayuda de la herramienta Circunferencia por tres puntos al marcar tres puntos cualesquiera de los nueve anteriores (distintos de los vértices y del ortocentro), obtendremos la circunferencia de los nueve puntos.Esta circunferencia tiene muchas propiedades, de las que vamos a enunciar alguna.
El radio de la circunferencia de los nueve puntos es la mitad del radio de la circunferencia circunscrita al
triángulo.
Podemos dibujar la circunferencia circunscrita al triángulo ABC, obteniendo a continuación el
centro de las dos circunferencias con ayuda de la herramienta Punto medio o centro.
Medimos la longitud de los radios utilizando la herramienta Longitud o distancia, aunque no haría falta ya que las medidas de estos segmentos, previamente dibujados, aparecen en la vista algebraica.
La circunferencia de los nueve puntos es tangente a la circunferencia inscrita al triángulo.