I primi problemi sull'andamento esponenziale (equazioni)
Finora abbiamo affrontato solo i casi più semplici di funzioni esponenziali, ma sono già sufficienti per impostare e risolvere i primi problemi, che ovviamente si appoggiano su corrispondenti equazioni e disequazioni esponenziali.
Si definisce esponenziale un'equazione (o una disequazione) in cui l'incognita compare all'esponente di una o più potenze presenti.
Vediamo subito alcuni esempi.
UN PROBLEMA (ED UN'EQUAZIONE) ELEMENTARE
Partiamo con un esempio con dei valori molto semplici, in modo da capire il meccanismo.
Inizio un allevamento con 5 conigli. supponendo che i conigli triplichino ogni anno, dopo quanto tempo avrò 405 conigli?
Innanzitutto ricostruiamo la funzione che mi permette di calcolare quanti conigli ho dopo anni. Il valore iniziale è ed ogni anno i conigli sono moltiplicati per , quindi la funzione cercata è:
L'espressione di ci permette di calcolare il numero di conigli dopo anni; poiché stiamo cercando quando questo numero sarà , impostiamo l'equazione:
Per risolvere questa equazione dobbiamo, come al solito, isolare l'incognita; dato che essa è all'esponente di una potenza, isoliamo prima di tutto la potenza in cui essa compare. In questo caso dobbiamo dividere quindi per entrambi i membri:
è quindi l'esponente che devo dare a per ottenere , e vale quindi . Quindi nel mio allevamento ci sarà il numero richiesto di conigli dopo anni.
NUMERI UN PO' MENO BANALI
Il primo esempio visto era molto semplice: avremmo potuto risolverlo anche contando quanti conigli ci sarebbero stati dopo un anno, poi dopo due e così via, fermandoci quando avessimo ottenuto i cercati. Ovviamente un approccio simile funziona solo nei casi più semplici, e questi primi problemi servono per individuare una procedura più generale che funzioni anche quando i numeri sono più complessi. Vediamo un altro esempio
Creo una cultura di batteri ed osservo come si riproducono. Nella tabella è riportato il numero di batteri dopo mesi dall'inizio dell'esperimento
| mesi | batteri |
| 0 | 7 |
| 1 | 63 |
| 2 | 567 |
| 3 | 5103 |
Ci interessa sapere in quale momento erano presenti 189 batteri nella cultura.
Anche in questo caso dobbiamo innanzitutto ricostruiamo la funzione che ci permette di calcolare quanti batteri ho dopo mesi. Verifichiamo facilmente che ogni mese il numero di batteri è moltiplicato per , dato che . Dato che il numero iniziale di batteri è chiaramente , la funzione cercata è:
Impostiamo l'equazione imponendo che i batteri siano il numero richiesto:
Come prima isoliamo la potenza che contiene l'incognita:
Se stiamo attenti a NON FARE CONFUSIONE ci accorgiamo facilmente che NON è una potenza di , dato che scomponendolo in fattori otteniamo che .
Introduciamo quindi un nuovo passo molto importante nella procedura risolutiva di equazioni e disequazioni di questo tipo: otteniamo una forma particolarmente semplice da risolvere se riusciamo ad esprimere entrambi i membri come potenze con la stessa base. Nel nostro esempio dato che la base comune sarà ed otteniamo
Applicando la proprietà di potenza di potenza a primo membro otteniamo
A questo punto abbiamo due potenze con la stessa base che devono essere uguali tra loro; è evidente che questo può accadere solo se sono uguali anche gli esponenti, quindi abbiamo:
Quindi il numero di batteri richiesto si ha dopo mesi, cioè dopo un mese e mezzo. Da notare che conoscere MOLTO BENE le proprietà ed il significato degli esponenti ci permette di attribuire all'esponente un significato ben preciso che ci permette di verificare il risultato:
Abbiamo quindi individuato tre dei passi fondamentali per risolvere le equazioni esponenziali, o perlomeno quelle più semplici:
- isolare la potenza che contiene l'incognita come esponente
- se necessario riscrivere i due membri dell'equazione come due potenze aventi le stesse basi
- confrontare gli esponenti delle due potenze ottenute.
Siamo già in grado di risolvere un discreto numero di situazioni, ma per ottenere risultati ancora più generali dobbiamo introdurre il concetto di logaritmo, che presentiamo con l'esempio nel prossimo capitolo.