Metodo di Montecarlo ed integrazione definita
INTRODUZIONE -----------------------------------------
Questa attività, ispirata dal prof. Giovanni Cupini dell'Università di Bologna1, propone un'applicazione del Metodo di Monte Carlo al calcolo di un integrale definito attraverso l'applicazione del Teorema della media integrale.
(1) "Dante e la zara- Un percorso matematico tra teoria ed esperienza." nell'ambito delle iniziative del percorso formativo "La matematica che non ti aspetti" presso UNIMORE Dipartimento di Scienze, Fisiche Informatiche e Matematiche, 18 ottobre 2024.
DESCRIZIONE -----------------------------------------
Il significato geometrico del Teorema della media integrale è poter calcolare l'integrale definito di una funzione continua come area di un rettangolo di base [a;b] e di altezza corrispondente al valore che la funzione stessa assume per almeno un valore nell'intervallo, ovvero
Detto che la base è fissata, l'idea è quella di determinare il valore dell'altezza del rettangolo.
Qui entra in gioco il Metodo di Monte Carlo.
Si trovano n punti casuali all'interno dell'intervallo [a;b], ovvero
e per ognuno i corrispettivi valori della funzione: ebbene il valore approssimato dell'altezza è calcolato come media aritmetica dei valori della funzione, ovvero:
da cui
ISTRUZIONI -----------------------------------------
L'attività è suddivisa in tre sezioni:
- Integrale definito
- Mostra traccia f: mostra in tratteggio l'intera funzione al di fuori dell'intevallo [a;b]; sul grafico è possibile variare sull'asse x gli estremi d'integrazione muovendo i punti a e b2.
- Mostra pt costruzione f: mostra 4 punti muovendo i quali è possibile modificare la funzione3
- Mostra integrale: mostra la superficie sottesa dalla curva e compresa con l'asse x negli estremi d'integrazione
- Teorema della media integrale
- Mostra livello TM: sul grafico mostra il valore derivante dal Teorema della media integrale ottenuto dal rapporto dell'integrale con l'ampiezza dell'intervallo [a;b]
- Metodo di Monte Carlo
- Lo slider consente di variare il numero dei valori casuali: i comandi x10 e /10 consentono di aumentare rapidamente il numero delle prove4.
- Mostra distribuzione: sul grafico mostra la distribuzione dei valori casuali nell'intervallo [a;b] evidenziando in verde quelli in cui la funzione è maggiore della media, in rosso quelli minori; analogamente a fianco nella console ci sono i dati numerici
- Mostra livello MC: sul grafico mostra il valore medio dei valori assunti dalla funzione nei punti casuali evidenziando la differenza con quello ottenuto dal Teorema della media integrale.