Příklad 10 (nápověda)
Při řešení této úlohy vám může být nápomocné tvrzení týkající se vlastností osy úhlu v trojúhelníku. Jelikož není příliš rozšířené, rozhodli jsme se vám jej prozradit a dokázat.
Pomocné tvrzení
Mějme libovolný trojúhelník . Osa úhlu protne úsečku v bodě .
Dokažme, že .
Sestrojme přímku , která je rovnoběžná s úsečkou a prochází bodem . Nechť bod je průsečíkem přímky a přímky .
Jelikož přímka je rovnoběžná s přímkou , úhly (střídavé úhly).
Dva úhly v jsou tedy shodné - jedná se o rovnoramenný trojúhelník. Z toho plyne, že .
Nyní se podívejme na trojúhelníky a :
Úhly a jsou shodné, jelikož se jedná o vrcholové úhly.
Úhly a jsou shodné, jak je již zmíněno výše.
Úhly a jsou rovněž shodné, jelikož osa úhlu rozdělila tento úhel na dva shodné.
Úhly a jsou tedy shodné.
Trojúhelníky a mají tedy dva shodné úhly - jsou si podobné.
Vyjádřeme poměry stran:
Délku úsečky můžeme nahradit :
Nyní rovnost upravme:
, neboli , což jsme chtěli dokázat.