Zuordnungen
Vorbemerkung
Zuordnung gehört mit zu den Begriffen, die im 3. Semester vorausgesetzt werden müssen, oder in einer kurzen Wiederholung angesprochen werden (sollten).
Sind Ihnen diese Begrifflichkeit und dazugehörige Verfahren bekannt, können Sie dieses Kapitel überspringen.
Zuordnungen lassen sich in einer Tabelle lösen, die Sie mit dem Verfahren Dreisatz kennengelernt haben. Beachten Sie dabei, dass der Dreisatz ein Rechenrezept darstellt, aber keine Mathematik abbildet.
Eine Kiste Cola hat 12 Flaschen à 1, 5 l. Diese Kiste kostet 6 €. Was kostet ein Liter Cola (ein Cola (0,2 l) , wenn es ohne Gewinn verkauft wird?
Diese Aufgabe lösen Sie vermutlich so:
12 Flaschen à 1, 5 l Ergebnis 18 l Cola
18 l Cola kosten 6 €, dann kosten (also 1 l) Liter Cola €, also €.
Um zu zeigen, dass man diese Zuordnungen auch ohne Geldgeschäfte nutzen kann, folgt ein Beispiel aus der Natur unter Bezug auf eine sogenannte Faustformel.
Mathematik und Natur
Physikalische Größen
Eine Zuordnung ist eine klassisches Anwendung der Mathematik. Dabei geht es nicht in erster Linie um Zahlen, sondern Zahlen die mit einer Größe verbunden sind. Der Fachbegriff dafür ist physikalische Größe.
Eine physikalische Größe ist das Produkt aus einer Zahl und einer (Maß)-Einheit.
Das bekannteste Beispiel ist vermutlich die physikalische Größe für die Länge: [l] = 1•m oder Währungen, z.B. 1€, bzw. 1$.Beachten Sie, dass man den Malpunkt bei den physikalischen Größen weglässt.
Werden nun zwei Größen einander zugeordnet, so kann das auf unterschiedliche Weise erfolgen:
Kostet 1 Meter (1m) Schnur 0,50€, dann kosten 10 m Schnur natürlich 10mal soviel, also 5,00€.
Beide Größen werden größer oder sprachlich sehr verkürzt: Je mehr desto mehr.
Das obige Applet zeigt diesen Sachverhalt am Beispiel von Donner und Blitz:
Je länger der Zeitraum zwischen Blitz und Donner, desto weiter ist das Gewitter entfernt!
Natürlich ist diese Zuordnung auch umkehrbar, und vor allem gilt:
Kein Blitz, kein Donner, also auch kein Gewitter, was mathematisch bedeute, dass diese Zuordnung durch den Nullpunkt geht.
Diese Zuordnung wird proportional genannt und gehört zu den Inhalten des 1. Semesters an der ARS.
Zusammenfassung:
Ein Zuordnung, bei der zum Doppelten einer Größe, das Doppelte einer anderen Größe gehört, und durch den Nullpunkt geht, wird proportionale Zuordnung genannt.
Das Doppelte kann auch irgend ein beliebiger (positiver) Zahlenwert sein.
Natürlich gibt es sowohl eine nicht proportionale Zuordnung und umgekehrt proportionale Zuordnung.
Die nicht proportionalen Zuordnungen werden Sie als lineare Funktionen in diesem Semester genauer untersuchen und anwenden.
Die umgekehrt proportionalen (antiproportional ist hier missverständlich) Zuordnungen spielen in Textaufgaben zum Dreisatz eine Rolle, aber ihre mathematische Schönheit (es sind Kegelschnitte) ist ist nicht Gegenstand des Mathematikunterrichtes der Sekundarstufe I.
Das folgende Beispiel zeigt -nur der Vollständigkeit halber- die umgekehrt proportionale Zuordnung am Beispiel eines Baukrans.
Das Applet zeigt, dass der Kran weniger Masse transportieren kann, wenn er die Masse weiter weg transportieren muss, weil er sonst umkippen würde.
Also:
Je weiter eine Masse ausgelegt wird, desto kleiner muss die Masse sein. (Sonst fällt der Kran um!)
Die Kurzform einer umgekehrt proportionalen Zuordnung lautet:
Zum Doppelten einer Größe gehört die Hälfte einer anderen Größe.
Wenn Sie sich die Mühe machen, in der Gewitteraufgabe den Quotienten aus Entfernung und unterschiedlichen Zeiten zu berechnen, werden Sie feststellen, dass immer der gleiche Wert herauskommt.
Man sagt: Proportionale Zuordnungen sind paarweise quotientengleich.
Wenn Sie das beim Kran machen, werden Sie das nicht feststellen, sie können gemeinsame (paarweise) Produkte bilden, und die sind dann auch immer gleich.
Man sagt: Umgekehrt proportionale Zuordnungen sind produktgleich.
Im KOS erkennt man das daran, dass die quotientengleichen Zuordnungen (Funktionen) auf einer Geraden liegen.
Produktgleiche Zuordnungen (Funktionen) liegen auf einer Hyperbel.