L'andamento della funzione e ricerca degli estremi
Grazie ai teoremi di Rolle, Cauchy e di Lagrange, ed alle conseguenze di quest'ultimo, siamo giunti alla seguente importante conclusione:
SE
- in un certo intervallo la derivata di una funzione ha segno sempre positivo
- In quell'intervallo la funzione è continua e derivabile
Di fatto in tutte le funzioni più semplici i punti che violano il teorema di Lagrange corrispondono a "buchi" nel dominio, e quindi vengono esaminati ben prima di arrivare al calcolo ed allo studio del segno della derivata: vengono rimossi dal piano cartesiano e se ne studiano i limiti corrispondenti. Inoltre spesso in questi punti non esiste neppure la derivata, il che rende piuttosto automatico escluderli dallo studio della stessa, costruendo così il grafico dell'andamento della funzione nel modo corretto.
Detto ciò, è comunque importante tenere presente questo aspetto per impostare correttamente lo studio del segno della derivata e dei tratti di monotonia crescente e decrescente della funzione.
Nella seguente animazione, infine, vediamo come nel caso in cui il dominio abbia dei confini sia importante cercare gli eventuali punti di estremo anche ai confini del dominio.
Un altro esempio in questo senso è la funzione
È però importante notare che la funzione ha un punto di discontinuità in , in questo caso dato dalle C.E. che richiedono che e del quale quindi ci dovremmo essere accorti ben prima dello studio della derivata nel corso dello studio di funzione. Inoltre la derivata stessa non esiste in , quindi un corretto studio del segno prevede che l'unico intervallo visto precedentemente venga spezzato in due intervalli, separati dal punto in cui la derivata non è nè positiva nè negativa in quanto non esiste.
In entrambi questi intervalli la derivata risulta negativa e quindi si ha l'andamento mostrato qui sotto.
Il nuovo andamento individuato corrisponde effettivamente con quello della funzione, che è l'ìperbole riferita agli asintoti ed ha il grafico mostrato sotto, in cui è sottolineato l'andamento della derivata.