Teorema de Fubini
Por el teorema de Fubini la integral de una función continua sobre el rectángulo , se puede calcular como:
.
Cuando es una función positiva en el rectángulo, la integral sobre el rectángulo se puede interpretar como el volumen bajo la gráfica de sobre , y las integrales entre paréntesis se pueden interpretar como áreas. Si cambia de signo en el rectángulo, la integral sobre es resta de volúmenes lo que llamaremos volumen con signo. De la misma manera, las integrales entre paréntesis serán áreas con signo.
- En la primera integral iterada, la integral es el área de la gráfica de cuando y varía entre y (si no es positiva entonces la integral es un área con signo). Este área depende del valor con entre y . Al integrar esa función entre y se obtiene la integral doble,
- De manera análoga, la integral es el área con signo de la gráfica de cuando varía entre y . En este caso depende del valor de para entre y . Al integrar ahora esa función entre y se obtiene otro método para calcular la integral doble:
Arriba a la derecha se ve el rectángulo , que es el dominio de integración. Abajo, de color azul, se ve la gráfica de con ese dominio.
Arriba a la izquierda, al marcar la casilla "Integración primero con respecto a x" aparece en el valor de indicado por el deslizador verde, y en la parte de abajo de la construcción se aprecia la gráfica de la función (con constante y entre y ). La zona coloreada en rojo que aparece bajo la gráfica de representa la integral y el plano azul es el plano . Al variar con el deslizador va variando la zona coloreada y su integral.
De forma análoga, al marcar la casilla "Integración primero con respecto a y" aparece en el valor de indicado por el deslizador rojo, la gráfica de la función (con constante e entre y ). La zona coloreada en verde bajo la gráfica de representa la integral y el plano azul es ahora el plano . Al variar con el deslizador va variando la zona coloreada y su integral.
La función , y los valores de , , y se pueden introducir en las casillas de entrada.