F N (e)
Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene. (09.Januar. 2021) Diese Seite ist auch eine Aktivität des Geogebra-Books Sechseck-Netze
Quelle: Fedor Nilov "New examples of hexagonal webs of circles" sept 2013 Beispiel (e) | Beispiel (e): (Aus dem Artikel von Fedor Nilov) In einer Ellipse mit der Exzentrizität erzeugen die im Inneren doppelt-berührenden Kreise und die Kreise des elliptischen Kreisbüschels durch die beiden Brennpunkte ein 6-Eck-Netz aus Kreisen. Zur Konsruktion dieses Beispiels: siehe die nachfolgenden Applets: Zu einem Punkt im Inneren sind die beiden doppelt-berührenden Kreise durch diesen Punkt zu konstruieren. Für Punkte im Äußeren ist es einfach, mit Hilfe des Leitkreises bzw. der Leitgraden die Tangenten bzw. doppelt-berührenden Kreise zu konstruieren. |
Zur Erklärung der Konstruktion im Applet:
Bekanntlich sind die Tangenten einer Ellipse Winkelhalbierende der Geraden durch die Brennpunkte (Brennstrahlen)
und den Berührpunkt der Tangente.
Tangente und Normale sind die "Mittel-Kreise", dh. die Winkelhalbierenden der Brennstrahlen.
Orthogonal zu den Brennstrahlen durch die Brennpunkte sind die konzentrischen Kreise um die Brennpunkte.
Schneiden sich die beiden konzentrischen Kreise um die beiden Brennpunkte auf der Ellipse, so ist die Tangente
ebenfalls Winkelhalbierende.
Die Mittelkreise zu diesen beiden Brennkreisen ist der innenliegende doppelt-berührende Kreis und der dazu orthogonale Kreis.
Beide liegen symmetrisch zur Hauptachse.
Zwischen zwei Brennkreisen, die sich auf der Ellipse schneiden, gibt es eine einfache Beziehung:
Spiegelt man einen der Hauptachsen-Schnittpunkte eines Brennkreises an der Tangente eines der Ellipsen-Scheitel auf der
Hauptachse, so erhält man einen Hauptachsen-Schnittpunkt des anderen Brennkreises.
Diese Beziehung ergibt auch eine Zuordnung der Brennkreise, falls sie sich nicht schneiden. Die Brennkreise besitzen dann
einen eindeutig bestimmten Mittel-Kreis. Wie man erkennen kann, übernehmen diese Mittel-Kreise nahtlos die Rolle der
doppelt-berührenden Kreise im Inneren der Ellipse.
Diese Beziehung zwischen Brennkreisen und doppelt-berührenden Kreisen ist eine Eigenschaft von allen bizirkularen Quartiken
bei geeigneter Übertragung der Begriffe Brennpunkt, Brennkreis und doppelt-berührender Kreis.
Siehe dazu das Kapitel Kegelschnitte und Wellen im geogebra-book Kegelschnitt-Werkzeuge.
Die Ellipse oben besitzt die Exzentrizität : In der Gleichung ist , der Brennpunkt ist .
Für die Konstruktion der doppelt-berührenden Kreise ist diese besondere Lage nicht ausschlaggebend.
Der konzentrische Kreis um f' schneidet die Hauptachse in sDB. Gespiegelt an der Tangente im Ellipsen-Scheitel s'
erhält man den Schnittpunkt s'DB des zugeordneten konzentrischen Kreises um f.
Wenn sich diese Kreise schneiden, schneiden sie sich auf der Ellipse.
Einer der Mittelkreise ist ein doppelt-berührender Kreis der Ellipse, möglicherweise ohne reelle Berührpunkte.
Die zur -Achse symmetrischen doppelt-berührenden Kreise konstruiert man auf ähnliche Art:
Für Kegelschnitte ist ein doppelt-zählender Brennpunkt.
Brennkreise sind die Kreise durch die Brennpunkte f und f' einerseits, und die Parallelen zur Hauptachse andererseits.
Spiegelt man den Schnittpunkt sy eines Brennkreises an dem Berühr-Kreis an die Ellipsen-Scheitel auf der Nebenachse
(dieser Kreis geht im obigen speziellen Fall durch die Brennpunkte!), so erhält man den Schnittpunkt s'y der zugeordneten
Parallele zur Hauptachse mit der Nebenachse.
Die Mittelkreise sind die doppelt-berührenden Kreise, oft ohne reelle Berührpunkte!
Zur Definition: Mittelkreis zweier Kreise ist ein Kreis, an welchem gespiegelt die beiden Kreise vertauscht werden.
Hierbei zählen die Geraden zu den Kreisen.
Eine knifflige Konstruktionsaufgabe (?!) :
Man konstruiere zu einem Punkt im Inneren einer Ellipse
die beiden die Ellipse doppelt-berührenden Kreise durch den vorgegebenen Punkt.