Gleichungen
Term
Am einfachsten erklärt man den Begriff Term wohl damit, dass er alles beschreibt, was berechnet werden kann. Man könnte also sagen, dass der Term die Rechnung ist (allerdings nicht deren Lösung!)
Beispiel:
![[size=85]Ein Term muss immer mindestens ein Rechenzeichen sowie mindestens eine Zahl bzw. Variable enthalten.
[/size]](https://www.geogebra.org/resource/ycv2bggy/ZjQG86u0wl08FSkY/material-ycv2bggy.png)
Gleichungen
Werden zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen verbunden, dann entsteht eine Gleichung.
Beispiel nur mit Zahlen:
Beide Terme haben hier als Lösung den Wert 9, aber es sind unterschiedliche Terme, also Rechnungen. Da beide aber die gleiche Lösung erhalten, kann man sie auch gleichsetzen. Es entsteht also eine Gleichung.
Beispiel mit Variablen:
In diesem Beispiel wirst du wahrscheinlich gleich denken: aha, da wurde im oberen Beispiel die 5 durch a und die 3 durch b ersetzt. Das wäre möglich, aber es könnte auch eine andere Lösung geben (a kann auch 2 sein und b = 1, nur so als Beispiel, auf beiden Seiten kommt dann trotzdem das jeweils gleiche Ergebnis heraus.
Gleichungen mit Variablen sind daher etwas komplexer, da die Lösung nicht immer sofort ersichtlich ist. Außerdem können weitere Rechenarten in den Gleichungen vorkommen. Um eine Variable, die sich in der Gleichung befindet, einzeln zu betrachten (also so, dass man ihren genauen Wert bestimmen kann), muss man die Gleichung lösen.
Beim Lösen der Gleichung gelten auch die Vorfahrtsregeln der Algebra. Da die Variable sich aber in der Gleichung selbst befindet, rechnet man rückwärts. Deshalb laufen die Schritte zum Lösen der Gleichung auch in umgekehrter Richtung wie die Vorfahrtsregeln.
Dieses Videos zeigt dir, wie du Gleichung lösen kannst:
Playlist Gleichungen (insgesamt 10 Videos)
Lösung, Lösungsmenge
Bei Gleichungen kann es wahre Lösungen geben, es muss aber nicht unbedingt so sein (vgl. Ungleichungen).
Eine Gleichung wird immer für einen bestimmten Zahlenbereich überprüft, z.B. für die ganzen Zahlen
Man schreibt dann:
Hat eine Gleichung eine oder mehrere gültige Lösungen, dann werden diese als Lösungsmenge in geschweiften Klammern angegeben.
Beispiel:
Hier hat x offensichtlich den Wert 1, daher gilt:
Äquivalenz
Eine Gleichung hat eine Lösung, die durch ihre Lösungsmenge angegeben wird. Wenn eine weitere Gleichung genau die gleiche Lösungsmenge wie die erste Gleichung besitzt, dann nennt man diese beiden Gleichungen äquivalent (sie sind gleichwertig).
Beispiele:
und
sind äquivalent.
Warum? Ich kann durch addieren einer Zahl beide Gleichungen genau gleich aussehen lassen, dabei ändert sich aber der x-Wert nicht.
Weiteres Beispiel:
und sind äquivalent
(dies gilt aber nur im Zahlenraum der natürlichen Zahlen , nicht im Zahlenraum der ganzen Zahlen (es gibt Beispiele, in denen x eine Kommazahl ist))
Ungleichungen
Eine Ungleichung besteht immer aus zwei Termen, die durch eines der Ungleichheitszeichen < (kleiner), > (größer), ≤ (kleiner gleich), ≥ (größer gleich)
verbunden sind.
Die Lösungsmenge einer Ungleichung ändert sich nicht, wenn man beide Seiten mithilfe von Äquivalenzumformungen verändert.
Werden jedoch beide Seiten mir einer negativen Zahl c multipliziert oder durch dieselbe negative Zahl c dividiert, bleibt die Lösungsmenge nur erhalten, wenn die Richtung des Ungleichheitszeichens umgekehrt wird.
| | 2x | < 5x - 2 |
| c < 0 | 2x ⋅ c | > ( 5x - 2) ⋅ c |
| | 2x : c | > ( 5x - 2) : c |