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Arbeitsblatt - Ableitung der Exponentialfunktion

Autor:Yeoshi
Voraussetzungen Definition der Exponentialfunktion ist bekannt:
  • (, )
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Definition der Logarithmusfunktion (Umkehrfunktion von) ist bekannt:
  • (, )
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Die Ableitung der Exponentialfunktion und die Entdeckung von Besonderheiten
Die Tangentenanstiege beliebiger Funktionsstellen Gegeben ist eine (blaue) Exponentialfunktion , sowie ihre Tangentensteigungsfunktion im Punkt P. Der (rote) Punkt A entspricht dem Anstieg der Exponentialfunktion im Punkt P, also dem Wert der Tangentensteigungsfunktion im Punkt P. Ändere die Stelle des Punkts P, indem du den Schieberegeler px verschieben. Was fällt dir auf?

Aufgaben

Worum handelt es sich bei der, durch die Spur von A, entstandene Graph?

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An welche Funktionsart erinnert dich der, durch die Spur von A, entstandene Graph?

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Was fällt dir auf, wenn du einen Funktionswert von f(x) und dem Anstieg von f(x) an selber Stelle ins Verhältnis setzen? Vergleiche dazu die Werte in mehreren Punkten.

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Zusammenfassung

  • Exponentialfunktion
Entdeckung einer besonderen Zahl Wir haben eine (blaue) Exponentialfunktion . Des Weiteren sei die zugehörige Ableitung (rot) geben. Ändere die Basis der Exponentialfunktion (Schieberegeler für a) und schau was passiert. Findest du zum Beispiel eine Basis bei der der Funktionswert von immer das dreifache der Ableitung ist?

Fragen

Für welchen Wert der Basis ist die Ableitung gleich der ursprünglichen Exponentialfunktion? Kennst du diese Zahl?

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Was bedeutet diese Entdeckung für die Beziehung der Ableitung zur Funktion für diese Basis?

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Zusammenfassung

Ableitung einer gestreckten Expontentialfunktion Wir haben eine (blaue) Exponentialfunktion und die (rote) zugehörige Ableitungsfunktion . Des Weiteren haben wir eine weitere (grüne) Exponentialfunktion , bei welcher es sich um eine mit dem Faktor gestreckte/getauchte Variante von handelt. Findest du einen Faktor , bei dem die (grüne) Funktion gleich der (roten) Ableitungsfunktion ist, d.h. ? Wenn du einen solchen Faktor gefunden hast, vergleiche diesen mit konkreten Anstiegen (m) von f(x) im Punkt P (Schieberegeler px). Findest du eine Stelle px, wo der Anstieg (m) gleich dem Faktor ist? Gilt das auch für andere Basen a?

Fragen

Eine Funktion stimmt mit der Ableitung von überein, wenn der Faktor , welchem Wert entspricht?

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Was folgt für die Ableitung , wenn wir wissen .

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Anmerkung

Selbe Erkenntnis folgt auch rechnerisch aus:

Zusammenfassung

Zusammenhang von f'(x) und e^x Gegeben ist eine (blaue) Exponentialfunktion , der Anstieg von im Punkt P = (0,f(0)) und die (lila) e-Funktion . Wir wissen bereits, dass die e-Funktion eine besondere Exponentialfunktion ist. Unter Bezugnahme der e-Funktion können wir auf die Ableitung schließen. Verschiebe den Punkt R auf der X-Achse so, dass die X-Koordinate dem Anstieg in , also entspricht. Betrachte dann den Punkt S, welcher sich durch Betrachtung von ergibt.

Fragen

Was fällt dir bei der Betrachtung von und dem Wert der Basis a auf?

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Was kann für mit dem Wissen, dass der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, gefolgert werden?

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Betrachten wir nun unsere bereits bekannte Ableitungsregel: Welche Gleichung ergibt sich nun für die Ableitung von ?

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