Παράγωγος και ακρότατα
Αρχικές οδηγίες
Στη δραστηριότητα δίνεται μία προεπιλεγμένη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R, ένα σημείο της
Α(x0 , f(x0)) το οποίο μπορείς να μεταβάλεις με τον αντίστοιχο δρομέα x0 και η εφαπτομένη τής
γραφικής της παράστασης σε αυτό.
Θυμήσου ότι, ο αριθμός f΄(x0) παριστάνει την κλίση (συντελεστή διεύθυνση) τής εφαπτομένης τής γραφικής παράστασης τής f στο σημείο της Α(x0 , f(x0)).
Σε κάθε σκέλος της δραστηριότητας επίλεξε το κουτί «κλίση εφαπτομένης» για να εμφανιστεί η κλίση της εφαπτομένης στο x0.
Μπορείς, σε κάθε περίπτωση, να επιλέγεις και το κουτί «γραφική παράσταση f΄» ώστε να βλέπεις και
τη γραφική παράσταση της παραγώγου f΄(x) της f και να έχεις μία καλύτερη "εικόνα" των συμπερασμάτων σου.
Πώς μπορούμε να συνδέσουμε την παράγωγο μίας συνάρτησης με τα ακρότατά της.
1. Παρατήρησε τη γραφική παράσταση και βρες, αν υπάρχουν, κρίσιμα σημεία και ακρότατα.
Πειραματίσου μεταβάλλοντας το σημείο Α μέσω του αντίστοιχου δρομέα και παρατήρησε σε κάθε
θέση την κλίση της εφαπτομένης ή με άλλα λόγια την παράγωγο f΄(x0) της f στο x0.
2. Επίλεξε το κουτί «Ακρότατα» και απάντησε στα ερωτήματα που εμφανίζονται.
Αν η απάντησή σου είναι σωστή, αυτή θα γίνεται πράσινη διαφορετικά θα γίνεται κόκκινη.
3. Επίλεξε το κουτί «Επιλογή τύπου» και κάνε κλικ στο κουμπί «Συνάρτηση 2» για να επιλέξεις μία νέα
συνάρτηση.
Αποεπίλεξε το κουτί «Επιλογή τύπου» και επανάλαβε την ίδια διαδικασία με αυτή των
βημάτων 1 και 2.
4. Επίλεξε το κουτί «Επιλογή τύπου» κάνε κλικ στο κουμπί «Συνάρτηση 3».
Αποεπίλεξε το κουτί «Επιλογή τύπου» και επανάλαβε την ίδια διαδικασία.
5. Επίλεξε το κουτί «Επιλογή τύπου» κάνε κλικ στο κουμπί «Συνάρτηση 4».
Αποεπίλεξε το κουτί «Επιλογή τύπου» και επανάλαβε την ίδια διαδικασία.
6. Επίλεξε το κουτί «Επιλογή τύπου» κάνε κλικ στο κουμπί «Συνάρτηση 5». Με το κουμπί “Zoom Out”
(κλικ όσες φορές θέλεις) μπορείς να δεις καλύτερα πώς είναι η γραφική παράσταση της f.
Κάνοντας κλικ στο κουμπί ¨Συνάρτηση 5" επαναφέρεις την αρχική μορφή.
Παρατηρώντας με προσοχή τη γραφική παράσταση, απάντησε στα ακόλουθα ερωτήματα:
Ερώτημα 1
Πόσα τοπικά μέγιστα έχει η συνάρτηση f; Έχει η f μέγιστο;
Ερώτημα 2
Πόσα τοπικά ελάχιστα έχει η συνάρτηση f; Έχει η f ελάχιστο;
Αφού ολοκληρώσεις με όλες τις συναρτήσεις της δραστηριότητας, απάντησε στα ακόλουθα ερωτήματα:
Ερώτημα 3
Αν για μία συνάρτηση f ισχύει f΄(x0) = 0, τότε είναι βέβαιο ότι η f παρουσιάζει στο x0 ακρότατο;
Ερώτημα 4
Αν μία συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο στο x0, τότε είναι βέβαιο ότι ισχύει f΄(x0) = 0;
Ερώτημα 5
Αν μία συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο στο x0 και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, τότε είναι βέβαιο ότι ισχύει f΄(x0) = 0;
Ερώτημα 6
Αν το x0 είναι κρίσιμο σημείο μίας συνάρτησης f και αυτή είναι γνησίως αύξουσα στο (α , x0) και γνησίως φθίνουσα στο (x0 , β), τότε είναι βέβαιο ότι το f(x0) είναι τοπικό μέγιστο της f;
Ερώτημα 7
Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο (α, β], τότε είναι βέβαιο ότι θα παρουσιάζει ένα τουλάχιστον ολικό ακρότατο;
