Punkte auf einer Geraden I
Bemerkungen zur Geradengleichung
Gegeben ist eine Gerade durch die Gleichung
,
Stützvektor
Ein Stützvektor wird im Koordinatenursprung gezeichnet und zeigt von dort aus zu einem beliebigen aber festen Punkt der Geraden, hier im Beispiel zeigt er zum Punkt A.
Der Stützvektor ist , er zeigt vom Koordinatenursprung zum Punkt .
Richtungsvektor
Der Richtungsvektor gibt die Richtung der Geraden an.
Hier ist der Richtungsvektor. Man kann ihn zeichnen, wo man möchte, sinnvoll ist es jedoch ihn von Punkt A aus abzutragen, er zeigt dann zu einem zweiten Punkt B der Geraden.
Wenn man Vektoren als Wegbeschreibung oder Verschiebung interpretiert, heißt das, dass die Vektoren und zusammen den Weg vom Ursprung zum Punkt B beschreiben.
In x-Richtung geht man z.B. um +2 Einheiten (laut Vektor ) und dann um -4 (also in die entgegengesetzte Richtung um 4 Einheiten, laut Vektor ). Im Ziel ist man also bei der x-Koordinate -2 angelangt.
Entsprechend geht man in y-Richtung um -2 und dann um +3 Einheiten, also hat das Ziel die y-Koordinate +1.
In z-Richtung geht man erst um 1 und dann um 3, also zusammen um 4 Einheiten.
In Vektorschreibweise kommt man zum Ziel durch
. Der Punkt B liegt also am Ort . Der Vektor zeigt natürlich dennoch vom Ursprung auf die Gerade.
Punkte auf der Geraden
Wenn in der oben gegebenen Geradengleichung für ein anderer Wert als 1 eingesetzt, erreicht man nicht mehr den Punkt B.
Ist z.B. , so geht man von A aus nur den halben Weg in Richtung zu B:
, also erhält man den Punkt .
Wählt man , so geht man von A aus anderthalb mal so weit in die Richtung von , also über B hinaus, und gelangt durch
zum Punkt
Mit geht es von A aus in die entgegengesetzte Richtung von .
zeigt auf den Punkt .
Sehen Sie sich die Gerade im GeoGebra-Applet aus verschiedenen Perspektiven an, und bewegen Sie den Schieberegler für t, um zu verschiedenen Punkten zu gelangen.
Siehe auch:
Punkte auf einer Geraden II