Geral

Toda função na forma , com (, e ) é denominada função quadrática, ou função polinomial do 2° grau.Lembre-se que o polinômio ax2 + bx + c é um polinômio do segundo grau na variável Representação Gráfica de uma Função Quadrática. Devido ao fato de o gráfico de uma função polinomial do 2° grau ser uma parábola e não uma reta, como no caso de uma função afim, para montarmos o seu gráfico não nos basta conhecer apenas dois pares ordenados pertencentes à curva da função, no caso da função quadrática precisamos de mais alguns pontos para termos uma boa ideia de como ficará a curva no gráfico. Vamos analisar o gráfico ao lado e a tabela abaixo que contém alguns pontos deste gráfico:  x y = -x2 + 10x - 14 Na tabela temos cada um dos sete pontos destacados no gráfico. Para traçá-lo primeiro identificamos no plano cartesiano cada um dos pontos sete pontos da tabela e depois fazemos as interligações, traçando linhas curvas de um ponto a outro seguindo a curvatura própria de uma parábola. Normalmente é mais fácil traçarmos a parábola se a começarmos pelo seu vértice, que neste caso é o ponto (5, 11), visualmente o ponto máximo do gráfico desta parábola. Ponto de Intersecção da Parábola com o Eixo das Ordenadas de uma forma geral a parábola sempre intercepta o eixo y no ponto (0, c). Na função y = -x2 + 10x - 14, vista acima, o coeficiente c é igual a -14, portanto a intersecção da parábola do gráfico da função com o eixo das ordenadas ocorre no ponto (0, -14). Raiz da Função Quadrática. Observe no gráfico anterior que a parábola da função intercepta o eixo das abscissas em dois pontos. Estes pontos são denominados raiz da função ou zero da função. Uma função quadrática possui de zero a duas raízes reais distintas. Sendo a função, para encontramos as suas raízes basta igualarmos y a 0 e solucionarmos a equação do segundo grau obtida: Estes são os valores de x que levam a y = 0, estes valores são portanto as raízes desta função. Vértice e Concavidade da Parábola. Podemos observar que no gráfico da função y = -x2 + 10x - 14 o seu vértice é o ponto máximo e que a sua concavidade é para baixo. Agora vamos observar o gráfico da função y = x2 + 3x + 1: Como podemos perceber, esta outra parábola é côncava para cima e o seu vértice é o seu ponto mínimo. Observando apenas a lei de formação das duas funções, qual o seu palpite para esta divergência entre os dois gráficos? Vamos identificar os coeficientes destas funções. Para a função y = -x2 + 10x - 14 temos: Já para a função y = x2 + 3x + 1 temos: Já tem algum palpite? Observe que na primeira função o coeficiente a é negativo, ao passo que na segunda função este mesmo coeficiente é positivo. O gráfico da função é côncavo para baixo quando a < 0: Por outro lado quando a > 0 o gráfico da função tem a sua concavidade voltada para cima: Coordenadas do Vértice da ParábolaA abscissa do vértice xv é dada pela fórmula: Já ordenada do vértice yv pode ser obtida calculando-se yv = f(xv), ou ainda através da fórmula: Vamos tomar como exemplo novamente a função y = -x2 + 10x - 14 e calcularmos as coordenadas do seu vértice para conferirmos com o ponto indicado na tabela inicial. Seus coeficientes são: Então para a abscissa do vértice xv temos: A ordenada do vértice yv vamos obter pelas duas formas indicadas. Primeiro utilizando a fórmula, mas para isto antes precisamos calcular o [url=http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoSegundoGrau.aspx]discriminante da equação -x2 + 10x - 14 = 0: Visto que o discriminante é igual a 44, a ordenada do vértice é: Da outra maneira o cálculo seria: Portanto o vértice da parábola é o ponto (5, 11) como apontado inicialmente pela tabela. Valor Mínimo ou Máximo da Função QuadráticaAcima aprendemos a identificar pela lei de formação de uma função se a parábola do seu gráfico tem concavidade para cima ou para baixo e também aprendemos como calcular as coordenadas do vértice desta parábola. Ficamos sabendo também que as funções polinomiais do 2° grau com coeficiente a < 0 possuem um valor máximo, ao ponto que quando o coeficiente a > 0 possuem um valor mínimo. Com base nestes conhecimentos podemos calcular qual é o valor máximo ou mínimo de uma função quadrática. Valor Mínimo e Ponto de Mínimo da Função QuadráticaVamos analisar o gráfico da função f(x) = x2 - 4x + 5: Os seus coeficientes são: Esta função é côncava para cima, pois o seu coeficiente a > 0. O ponto (2, 1) é o vértice da parábola. 2 é a abscissa do vértice, isto é xv, assim calculado: 1 é a ordenada do vértice, ou seja yv, que obtemos iniciando pelo cálculo do discriminante: Conhecendo o discriminante podemos calcular yv: Observe que para valores de x menores que a abscissa do vértice, o valor de y vai diminuindo até atingir um valor mínimo que é a ordenada do vértice ou f(xv). Como xv = 2, então f(2) = 1 é o valor mínimo da função f e 2 é o ponto de mínimo da função f. Para a > 0 o conjunto imagem da função polinomial do 2° grau é: Valor Máximo e Ponto de Máximo da Função QuadráticaVamos analisar agora este outro gráfico da função f(x) = -x2 + 4x + 2: Os coeficientes da regra de associação desta função são: Esta função é côncava para baixo já que o seu coeficiente a < 0. O ponto (2, 6) é o vértice da parábola. 2 é a abscissa do vértice, ou seja xv, que calculamos assim: 6 é a ordenada do vértice, isto é yv, que agora vamos obter calculando f(xv) diretamente, em vez calcularmos primeiro o discriminante e a partir dele calcularmos yv, como fizemos no caso do valor mínimo: Neste caso veja que para valores de x menores que a abscissa do vértice, o valor de y vai aumentando até atingir um valor máximo que é a ordenada do vértice, que como sabemos é f(xv). Visto que xv = 2, então f(2) = 6 é o valor máximo da função f e 2 é o ponto de máximo da função f. Para a < 0 o conjunto imagem da função quadrática é: