Atividade sobre Superfícies Quádricas

Author:Begoña Alarcón, Julia Lobato de Rezende, João Pedro Teixeira de Sá

Superfícies Quádricas Enquanto estudamos figuras no plano, lidamos com um conjunto de objetos denominados cônicas. Através de seus formatos "peculiares" e características únicas, buscamos compreender e manipular tais figuras. Assim mesmo, quando entramos no estudo de corpos ou superfícies no espaço, somos apresentados as superfícies quádricas. A superfície quádrica é uma superfície determinada por uma equação da forma:

onde {A,B,C,...,J} são constantes reais, ao menos um dos termos do conjunto {A,B,C,D,E,F} é diferente de zero e {x,y,z} são as variáveis. Estas superfícies são: Elipsóide, Hiperbolóide de uma Folha, Hiperbolóide de duas Folhas, Cone, Parabolóide e Parabolóide Hiperbólico.Assim como as cônicas se relacionam com o gráfico de funções de uma variável real, as superfícies quádricas podem ser relacionadas com gráficos de funções de duas variáveis reais. Voltaremos neste ponto na seção de gráfico de funções de várias variáveis e na seção do teorema da função implicita. Apresentamos nas figuras a seguir as superfícies quádricas e cilindros quádricos.

Tutorial 1: Esboço de quádricas no Geogebra 3D Link direto para o youtube https://youtu.be/OdcbVqaO390

Tutorial 2: Visualização da curva interseção de quádricas com o Geogebra 3D. Link direto para o youtube https://youtu.be/9z4hsQCMvi8.

Tutorial 3: Planos e Cones com o Geogebra 3D. Link direto para o youtube https://youtu.be/gimDC1MtvNk

Cortes ou traços de superfícies O termo "traço" ou "corte" refere-se à interseção da superfície com os planos XY, XZ e YZ. Esta é uma forma prática e simples para gerar gráficos de equações e avaliar como a função se comporta em relação a cada plano. Os traços são os cortes com o plano

. Tutorial 4: Visualização dos traços ou cortes de uma superfície com o Geogebra 3D. Link direto para o youtube https://youtu.be/9Jv9ZleIWpY

Acesse o livro abaixo para explorar mais de perto as supérficies quádricas. Link direto para o livro https://www.geogebra.org/m/hzvsftdf#material/jdwbqqms

Atividades

Observação sobre a verificação das respostas:

-Se a opção escolhida for incorreta, irão aparecer duas respostas como incorretas (a resposta marcada e a resposta oficial que é a correta) e o resto como corretas (as opções não foram marcadas e também não são a resposta correta). -Se a opção escolhida for a correta, sem problemas! Todas aparecerão corretas.

Questão 1 Através do conceito de traços sobre a superfície, responda: Qual a superfície que descreve ?

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A
Elipsoide
B
Paraboloide Elíptico com eixo no eixo X
C
Paraboloide Hiperbólico com eixo no eixo y
D
Hiperboloide de uma folha

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Questão 2 Através do conceito de traços sobre a superfície, responda: Qual a superfície que descreve ?

Select all that apply

A
Cone Elíptico
B
Hiperboloide de uma folha
C
Hiperboloide de duas folhas
D
Paraboloide Hiperbólico

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Questão 3 Através do conceito de traços sobre a superfície, responda: Qual a superfície que descreve ?

Select all that apply

A
Paraboloide Hiperbólico
B
Elipsoide
C
Paraboloide Elíptico
D
Hiperboloide de uma folha

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Questão 4 Reescreva a equação na forma padrão e classifique a superfície gerada.

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A
Elipsoide
B
Cone Elíptico com eixo no eixo z
C
Hiperboloide de duas folhas
D
Cone Elíptico com eixo no eixo y

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Questão 5 Reescreva a equação . na forma padrão e classifique a superfície gerada.

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A
Elipsoide com centro (0,2,3)
B
Elipsoide com centro(0,1,4)
C
Hiperboloide de uma folha
D
Hiperboloide de duas folhas

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Questão 6 Observando a imagem, qual das curvas representa a interseção das superfícies e onde .

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Questão 7 Qual é a característica dos pontos contidos na superfície ? Classifique a superfície.

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A
todos os pontos são equidistantes do ponto (-1,2,0) e do plano ; Elipsoide
B
todos os pontos são equidistantes do ponto (-1,3,0) e do plano ; Paraboloide
C
todos os pontos são equidistantes do ponto (-1,1,0) e do plano ; Elipsoide
D
todos os pontos são equidistantes do ponto (-1,0,0) e do plano ; Paraboloide

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Questão 8 Determine a figura geométrica que é formada através da interseção do elipsóide com o plano .

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A
Parábola
B
Elipse
C
Hipérbole
D
Circunferência

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Questão 9 Determine a figura geométrica que é formada através da interseção do hiperbolóide de uma folha com o plano .

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A
Hipérbole
B
Elipse
C
Circunferência
D
Parábola

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Questão 10 Determine a figura geométrica que é formada através da interseção do hiperbolóide de duas folhas com o plano .

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A
Circunferência
B
Hipérbole
C
Parábola
D
Elipse

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Questão 11 Determine a figura geométrica que é formada através da interseção do cilindro com o plano .

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A
Parábola
B
Uma reta
C
Duas retas
D
Elipse

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Observação sobre a verificação das respostas:

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