Quadrados sobre paralelogramo
Construa um paralelogramo de lados , , e . Em cada um de seus lados, construa quadrados para fora do paralelogramo. Marque, então, os centros , , e desses quadrados e, por fim, desenhe o quadrilátero
Mova os pontos livres e, se houver, os semilivres, observando o quadrilátero . Você consegue identificar algum invariante geométrico?
Imagem 1
Demonstração: Queremos mostrar que é um quadrado. Isto é, todos os lados têm comprimentos iguais e seus ângulos internos são reto.
Para justificar que , vamos mostrar que os triângulos e são congruentes (por lado-ângulo-lado - LAL). As demais igualdades de lados pode ser feita de maneira análoga ao que faremos para essa igualdade. Considere os ângulos eImagem 2
Como º (Exercício 1, a seguir) e (Exercício 2), então , desse modo temos que . Além disso, (ambos são a metade da diagonal do quadrado) e , portanto, os triângulos e são congruentes por LAL. Por isso, .
Agora vamos mostrar que o ângulo interno de em G mede .
Considere o ângulo .
Lembre-se que as diagonais de qualquer quadrado formam . Por isso, . Como os triângulos e são congruentes, os ângulos adjacentes a G são iguais. Portanto, . Logo . Assim, é um losango com um ângulo interno reto, logo, é um quadrado pois em qualquer paralelogramo os ângulos opostos são iguais e os ângulos consecutivos são suplementares.
Imagem 3
Exercício 1
Explique por que os ângulos internos consecutivos e do paralelogramo são suplementares, isto é, explique por que .
Explique por que os triângulos BFG e CGH são congruentes na demonstração.
Qual propriedade dos ângulos é utilizada para justificar que na demonstração?