3.3 Für Schnelle: Sinus und Cosinus abschaffen
Schreibweise von Sinus und Cosinus mit komplexer Exponentialfunktion
Die Gleichung liefert eine Möglichkeit Sinus und Cosinus durch und auszudrücken. Dazu geht man wie folgt vor:
- Wegen gilt auch: .
- Addition dieser Gleichungen liefert: .
- Subtraktion dieser Gleichungen liefert: .
- Die Gleichungen aus 2 und 3 lassen sich leicht umstellen zu: und
Arbeitsauftrag 3.3
- Beweisen Sie das Additionstheorem mithilfe der neuen Formeln. Vorsicht: Dieser Beweis ersetzt für uns leider nicht den Geometrischen Beweis, den Sie ggf. an anderer Stelle durchgeführt haben (z. B. iMPACt+ Skript 2018, S. 404). Das liegt daran, dass wir die Additionstheoreme bereits verwendet haben, um zu zeigen, dass für komplexe Zahlen auch gilt. Das benutzt man aber natürlich, wenn man das Additionstheorem mithilfe der neuen Formeln beweist ( ist eine komplexe Zahl.).
- Beweisen Sie den Satz des Pythagoras mithilfe der neuen Formeln. (Zusatz: Wieso ist das der Satz des Pythagoras?)
- Beweisen Sie die Gleichung: .