Die Formel von Bernoulli - Wege im (Bernoulli-) Gitter
Grundwissen zum Verständnis:
Wir interessieren uns für die Wahrscheinlichkeit bei 20 Versuchen genau 17 Treffer zu erzielen. Als Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Treffer legen wir den Wert 70% fest.
In der folgenden Gitter-Darstellung beschreibt jeder Pfeil nach rechts einen Treffer und jeder Pfeil nach unten eine Niete.
- Geht man bei n Teilschritten auf dem Weg von A nach B genau k Schritte nach rechts und die anderen n-k Schritte nach unten, so wählt man aus einer Menge von n unterscheidbaren Elementen genau k Elemente ohne Beachtung der Reihenfolge aus. Daher gibt es genau "n über k" mögliche Wege. Jeweils ein möglicher Weg wird in der Animation durch die Pfeile angezeigt.
- Jeden Teilschritt nach rechts gewichtet man mit der Trefferwahrscheinlichkeit p und jeden Schritt nach unten mit der zugehörigen Gegenwahrscheinlichkeit 1-p.
- Die Teilwahrscheinlichkeiten längs eines Weges werden multipliziert.
- Die (identischen) Gesamtwahrscheinlichkeiten für die "günstigen" Wege werden addiert.
Nachteile bei der Darstellung mit Baumdiagrammen:
In der Regel werden Wahrscheinlichkeiten zu Bernoulli-Ketten mit einem Baumdiagramm veranschaulicht. Dieses ist dem Bernoulli-Gitter in folgenden Punkten unterlegen.
- Eine n-malige Verzweigung führt im Baumdiagramm zu insgesamt Pfaden. Für n=10 sind das bereits 1024 Pfade. Spätestens für wird solch ein Baumdiagramm sehr unübersichtlich.
- Das Zeichnen solcher Baumdiagramm ist zeitaufwendig.
- Die günstigen Wege für k Treffer lassen sich nur schwer im Baumdiagramm veranschaulichen.
- Die jeweils günstigen Pfade für benachbarte Trefferzahlen liegen nicht beieinander sondern sind meist über die ganze Breite des Diagramms verteilt.