Многоугольники

Рассмотрим фигуру, составленную из отрезков так, что смежные отрезки (т. е. отрезки AB и BC, BC и CD,..., FA и AB не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек. Такая фигура называется многоугольником. Точки A, B, C, ... , F называются вершинами, а отрезки AB, BC, CD, ..., EF, FA сторонами многоугольника. Сумма длин всех сторон называется периметром многоугольника.

Многоугольник с n вершинами называется n-угольником; он имеет n сторон. Примером многоугольника является треугольник. На рисунке изображены четырехугольник ABCD и шестиугольник A₁,A₂,A₃,A₄,A₅,A₆.

Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними. Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника.

Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая - внешней областью многоугольника.

363. Начертите выпуклые пятиугольник и шестиугольник. В каждом многоугольнике из какой-нибудь вершины проведите все диагонали. На сколько треугольников разделяют проведенные диагонали каждый многоугольник? 364. Найдите сумму углов выпуклого: а) пятиугольника; б) шестиугольника; в) десятиугольника. 365. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен: а) ; б) ; в) ; г) 366. Найдите стороны четырехугольника, если его периметр равен 8 см, а одна сторона больше каждой из других сторон соответственно на 3 мм, 4 мм и 5 мм. 367. Найдите стороны четырехугольника, если его периметр равен 66 см, первая сторона больше второй на 8 см и на столько же меньше третьей стороны, а четвертая - в три раза больше второй. 368. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они равны друг другу. 369. Найдите углы A, B и C выпуклого четырехугольника ABCD, если , а . 370. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.

5.1.1. Существуют ли два многоугольника, у которых все вершины общие, но нет ни одной общей стороны, если у многоугольников: а) 4 угла; б) 5 углов; в) 6 углов? 5.1.2. Узнайте: а) Как можно доказать, что три точки лежат на одной прямой? б) Как можно доказать, что три отрезка пересекаются в одной точке? Докажите что, если в шестиугольнике противоположные стороны равны и параллельны, то три его диагонали, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке. Определите, какими свойствами обладает этот многоугольник. 5.1.3. В выпуклом многоугольнике проведены все его диагонали. Они разбивают этот многоугольник на ряд более мелких. Какое наибольшее число сторон может иметь многоугольник разбиения, если первоначальный многоугольник имеет a) 4 стороны; б) 5 сторон; в) 6 сторон; г) 7 сторон; д) 2023 стороны; е) 2024 стороны? 5.1.4. Внутри многоугольника М₁ с периметром P₁ лежит выпуклый многоугольник М₂ с периметром P₂. Докажите, что P₂<P₁. Будет ли это верно, если многоугольник М₂ не будет выпуклым? 5.1.5. Какие свойства выпуклого четырехугольника следуют из того, что он: а) разбивается своей диагональю на два равных треугольника; б) разбивается двумя своими диагоналями на четыре равных треугольника? 5.1.6*. Из каких многоугольников можно сложить паркет?