Οι μέλισσες και τα μαθηματικά
Πως μπορούν να γεμίσουν το επίπεδο οι μέλισσες με κανονικά πολύγωνα ...
Οι μέλισσες κατασκευάζουν μια αποθήκη για να τοποθετήσουν σε αυτήν το μέλι τους. Για το σκοπό αυτό δημιουργούν ράφια που μετά από σκέψη τα έκαναν εξάγωνα.
Γιατί διάλεξαν το συγκεκριμένο σχήμα; Ποιες άλλες επιλογές είχαν;
Αυτές τις ερωτήσεις θα προσπαθήσουμε να απαντήσουμε εδώ.
Τα πιθανά κελιά
Είναι πρακτικό τα κελιά που θα φτιάξουν οι μέλισσες να μοιράζονται τα τοιχώματα τους.
Ποια, λοιπόν κανονικά πολύγωνα θα μπορούσαν να γίνουν τα ράφια της αποθήκης τους.
Παρατήρησε τις επόμενες διαφάνειες πατώντας το "play" της επόμενης εφαρμογής.
Μπορείς να φτιάξεις ράφια με τρίγωνα, τετράγωνα ή εξάγωνα αλλά όχι με πεντάγωνα, επτάγωνα ή άλλα πολύγωνα. Δες γιατί...
Γιατί όμως εξάγωνα;
Στον επόμενο πίνακα βλέπετε το εμβαδό ως συνάρτηση της περιμέτρου για το κάθε σχήμα.
Αν φτιάξουμε ένα τρίγωνο με πλευρά α τότε θα έχει περίμετρο P και εμβαδό Α που δίνονται από τους τύπους που είναι στον πίνακα.
Για να βρούμε την καλύτερη λύση για το πρόβλημά μας, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η ποσότητα του κεριού που χρησιμοποιούν οι μέλισσες για την κατασκευή τους είναι η ίδια, οπότε τα σχήματά μας θα έχουν ίδια περίμετρο P, τότε το εμβαδό γίνεται μεγαλύτερο όσο περισσότερες πλευρές έχει το σχήμα μας. Η καλύτερη περίπτωση είναι ο κύκλος, αλλά δεν μπορούν να τον χρησιμοποιήσουν, οπότε η αμέσως επόμενη καλύτερη περίπτωση είναι το εξάγωνο.
Ο κύκλος έχει βέβαια το ελάττωμα ότι δεν μπορεί να μοιραστεί πλευρά με τους υπόλοιπους. Αν θέλω να φτιάξω εφτά κελιά με κύκλους πρέπει να φτιάξω εφτά κελιά με κύκλους, αν όμως θέλω εφτά κελιά με εξάγωνα αρκεί να φτιάξω έξι κελιά και στη μέση δημιουργείται ένα ακόμη.
| Σχήμα | περίμετρος P | εμβαδό A | το εμβαδό A ως συνάρτηση της περιμέτρου P | |
| Τρίγωνο | 3α | | | |
| Τετράγωνο | 4α | α² | | |
| Εξάγωνο | 6α | | | |
| Κύκλος | 2ρ | ρ² | | |