Sinus und Kosinus am Einheitskreis und ihre Graphen
Infos
Diese kleine GeoGebra-Simulation soll dir helfen zu verstehen, wie die beiden trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus aus dem Einheitskreis entstehen.
Mithilfe des grünen Schiebereglers kannst du die Größe des Winkels verändern. Der erste Schenkel des Winkels ist die positive x-Achse und der zweite Schenkel die Strecke vom Mittelpunkt des Kreises zum Punkt P auf der Kreislinie des Einheitskreises. Da der Einheitskreis den Radius hat, ist der Sinus des Winkels die Gegenkathete und der Kosinus die Ankathete im eingezeichneten, rechtwinkligen Dreieck.
- Aktiviere das Kontrollkästchen Sinusfunktion und verändere den Winkel . Beobachte, wie nun mit zunehmendem Winkel der Graph der Sinusfunktion über den Punkt entsteht. Der Punkt hat die x-Koordinate und die y-Koordinate sin().
- Aktiviere das Kontrollkästchen Sinusfunktion vollständig und es wird die vollständige Sinusfunktion eingeblendet, die auch für größere Winkel definiert ist, wenn man den Kreis mehrfach durchläuft. Es kommen hierbei natürlich wieder die gleichen Winkel und die gleichen Werte für den Sinus heraus, aber man kann so die Sinusfunktion für alle Werte der x-Achse definieren (siehe weiter unten: Bogenlänge).
- Aktiviere das Kontrollkästchen Kosinusfunktion und verändere den Winkel . Beobachte, wie nun mit zunehmendem Winkel der Graph der Sinusfunktion über den Punkt entsteht. Der Punkt hat die x-Koordinate und die y-Koordinate cos().
- Aktiviere das Kontrollkästchen Kosinusfunktion vollständig und es wird die vollständige Kosinusfunktion eingeblendet.
- Aktiviere das Kontrollkästchen Bogenlänge unter dem Schieberegler für den Winkel . Ein Winkel lässt sich nicht nur im Gradmaß, wie z.B. 50°, angeben, sondern auch im sogenannten Bogenmaß. Hierbei wird als Größe des Winkels die zugehörige Länge des Kreisbogens, der durch den Winkel aus dem Einheitskreis ausgeschnitten wird, gewählt. Da der Einheitskreis den Radius hat, ist sein Umfang . Dem Vollwinkel 360° entspricht also die Bogenlänge . Dem Winkel 180° entspricht dann die Bogenlänge und dem Winkel 90° die Bogenlänge .
und
Typische Winkel im Winkelmaß und Bogenmaß:90° entspricht 180° entspricht 270° entspricht 360° entspricht