Pantógrafo. Homotecias y Teorema de Thales
Elementos de un pantógrafo
- unimos 4 varillas (segmentos) mediante bisagras, en los puntos A, B, C y D.
- debe cumplirse que AB=CD y AD=BC. Además, P, D y E estarán alineados, de tal manera que el objeto resultante es una figura plana y ABCD es un cuadrilátero.
- El punto P se mantiene fijo a la superficie de dibujo, mientras que el punto D puede moverse D libremente por ella.
- Las longitudes fijas de los segmentos harán que los ángulos entre ellos varíen, y el punto E se sitúe en otra posición, y las articulaciones ABCD vuelvan a formar un cuadrilátero en sus nuevas posiciones.
- Así, mientras el punto D va trazando una figura, que suele ser un dibujo a escala inicial, el punto E irá trazando otra, que es el mismo dibujo, realizado a escala.
- Los puntos articulación A, B y C sirven para el movimiento del pantógrafo y como apoyo para aportar estabilidad (por ello suele utilizarse apoyado en la mesa, aunque el applet permite cambiar su inclinación).
- El applet nos muestra que la nueva figura es una homotecia de la primera. La escala/razón de homotecia depende de las longitudes de las varillas.
Pensamiento matemático
A la vista del applet, parece que ABCD no solamente es un cuadrilátero, sino que tenemos más propiedades. Vamos a justificar de la forma matemática más precisa las siguientes afirmaciones.
(*) Si no consigues justificar alguno de los puntos, puedes darlo por conocido y utilizarlo para probar el siguiente:
Otras cuestiones
- El proceso descrito sirve para ampliar dibujos. ¿Cómo podríamos usar esta misma herramientas para reducir? Por ejemplo, ¿qué configuración habría que poner para una reducción 3:1, y dónde situaríamos el extremo que dibuja y el que copia?
- Supongamos que PA=8 y AB=24.
- Si D recorre una circunferencia de radio 5, ¿qué figura trazará E?
- Si D recorre un triángulo rectángulo de hipotenusa con longitud 3, ¿qué figura trazará E? ¿qué relación habrá entre la posición de los lados del triángulo y los de la figura resultante?
- Al utilizar el pantógrafo, que es una figura plana, en un ambiente tridimensional, podemos elegir qué angulo de inclinación daremos sobre el plano de dibujo (generalmente será 0, para poder usar los puntos de apoyo). En el applet se puede modificar moviendo el punto que hay junto la casilla Plano (casilla que sirve para mostrar el plano que contiene nuestra herramienta). Justifica el hecho de que la inclinación no influye en el resultado del dibujo.
- Indica cómo harías para definir un plano como el del applet; que tenga siempre la inclinación indicada. Para definir un plano, indicamos tres puntos no alineados que pertenezcan a él. Dos de ellos serían P y D, ¿cómo encontraríamos el otro?
Ampliación. Pensamiento computacional
En el applet hemos visto una recreación tridimensional en la que nuestro instrumento se coloca siempre perpendicular al papel (marcar la casilla plano si no visualizamos bien ese comportamiento).
Igualmente, hemos calculado la zona en la que podemos colocar la figura inicial, para que podamos dibujarla mediante nuestro aparato.
Indica cómo harías para calcular todos los elementos que intervienen en el pantógrafo, teniendo en cuenta:
Proyecto: pensamiento manipulativo
- lo más cómodo es permitir solamente una cantidad fija de longitudes, haciendo agujeros en los lugares adecuados.
- podemos utilizar un cierre de mariposa para unir los palos, y que permita que giren.
- como el pantógrafo resultará grande, es mejor usarlo tumbado (ángulo 0).
- Para sujetar la punta que dibuja, se puede pegar una goma o similar, que la sujete.
- A la hora de trazar el dibujo, es más exacto si sujetamos la punta que dibuja, pero mirando que la que va trazando el dibujo copiado (punto D) vaya recorriendo su contorno.