Trigonometrische Funktionen
Kurzinformation
Thema: Trigonometrische Funktionen
Mathematik an Gymnasien in Baden Württemberg, 9./10. Klasse
Dauer: 90 Minuten (eine Doppelstunde)
Spezielle Materialien: Computer mit Geogebra-Zugang
Bildungsplan
Im Bildungsplan kommt der erste Kontaktpunkt der SuS mit den trigonometrischen Funktionen in der 9. Klasse, zu Beginn befinden sich die Themen dabei in der Leitidee Raum und Form, mit dem Themenbereich Trigonometrie an rechtwinkligen Dreiecken.
Noch in der 9. Klasse findet der Wechsel des Blickpunktes zur Leitidee des Funktionalen Zusammenhangs statt, indem in das Thema Trigonometrie am Einheitskreis eingeführt, sowie das Modellieren von periodischen Vorgängen behandelt wird.
In der 10. Klasse bleiben die SuS in der Leitidee Funktionaler Zusammenhang und beschäftigen sich mit den Trigonometrischen Funktionen, sowie des Strecken/Stauchen und Verschiebens dieser.
Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
Die SuS lernen die trigonometrischen Funktionen zunächst als verschiedene Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken kennen, wodurch das Berechnen verschiedener Größen in (rechtwinkligen) Dreiecken, für welche der Satz des Pythagoras, die Strahlensätze, etc. schon bekannt sind, erweitert wird. Durch deren Umkehrfunktionen wird außerdem auch die Berechnung von Winkelgrößen aus verschiedenen Seitenlängen möglich.
Eine wichtige Observation ist hierbei, dass der Wert der trigonometrischen Funktionen, trotz dass sie (zu dem Zeitpunkt) über die Seitenlängen definiert sind, nur von dem betrachteten Winkel abhängt.
Trigonometrie am Einheitskreis
Die Definition der trigonometrischen Funktionen, welche die SuS bisher kennengelernt haben, machen nur Sinn für Winkel im offenen Intervall (0°,90°), da wir hier nur Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck betrachten und mit Winkeln >90° lässt sich kein rechtwinkliges Dreieck konstruieren.
Die Trigonometrie am Einheitskreis ist ein Versuch den Übergang von Raum und Form zu Funktionaler Zusammenhang zu vereinfachen.
Idee:
- Konstruiere Kreis mit Radius 1 um den Ursprung
- Konstruiere ein Dreieck mit Hypotenuse = Radius und eine Kathete sei x-Achse
- Der Punkt auf dem Einheitskreis, an dem die Hypotenuse auf die Kreislinie trifft hat die Koordinaten P(sin()|cos()) mit als Winkel zwischen x-Achse im 1. Quadranten und der Hypotenuse
Trigonometrische Funktionen
Nun da wir eine Definition der trigonometrischen Funktionen und Graphen zu diesen gefunden haben, welche sich der gesamten rationalen Zahlen als Definitionsmenge bedienen, können wir uns fragen, wie diese aussehen und sich verändern lassen.
Der größte Unterschied zwischen den Graphen der trigonometrischen Funktionen und den zuvor von den SuS erlernten Funktionen ist deren Periodizität.
Die Standartform der Sinus-Funktion ist f(x) = a*sin(b*(x-c))+d. Hierbei funktionieren die Parameter a, c, d wie schon von z.B. bei quadratischen Funktionen bekannt jeweils als Streckung in y-Richtung, Verschiebung in x-Richtung und Verschiebung in y-Richtung, jedoch haben a und d dabei noch weitere Funktionen. Da die Trig. Funktionen Schwingungen um eine Achse sind beschreibt der Parameter d die Achse um die diese schwingen, während |a| den Ausschlag dieser Schwingung, auch bekannt als Amplitude, angibt.
Übrig bleibt somit noch der Parameter b, welcher durch die Periodizität dieser Funktionen neu dazukommt und eine Streckung in x-Richtung um den Faktor bewirkt. Weiterhin ist die Periodendauer, welches die kleinste Konstante k ist, für die gilt f(x) = f(x+k) für alle x, bestimmt durch und somit ist die Periodendauer für die Funktion f(x) = sin(x) gleich 2.
Didaktisches Prinzip "Aus Fehlern lernen"
Jeder kennt Aussprüche wie "Errare humanum est"/"Irren ist menschlich" oder auch "Aus Fehlern lernt man", doch kann man tatsächlich aus Fehlern lernen und wenn ja, was?
1. Was sind Fehler?
- Es gibt verschiedene Arten von Fehlern, welche unterschiedlich behandelt und erkannt werden müssen.
- Flüchtigkeitsfehler sind nervig und passieren jedem, aus ihnen kann auch nichts gelernt werden, da alles Wissen über das Thema schon vorhanden ist und nur einmalig falsch gehandelt wurde
- Syntaktische Fehler sind Fehler in der Ausführung
- Semantische Fehler sind Fehler im Verständnis
- Semantische Fehler wirken sich oft in syntaktischen Fehlern aus und werden oft erstmals als solche erkannt.
