Musterrechnung: Abstand Punkt Gerade
Sie finden hier eine kommentierte Beispielrechnung für die Bestimmung des Abstandes eines Punktes von einer Geraden.
Visualisierung der Aufgabenstellung
1 Aufstellen der Geradengleichung
Gegeben:
Die Ortsvektoren der Punkte sind:
Jeder Ortsvektor eines Punktes der Geraden kann Stützvektor der Geraden sein. Ich wähle als Stützvektor
Also
Jeder Differenzvektor zweier Ortsvektoren von zwei verschiedenen Punkten der Geraden ist eine Richtungsvektor der Geraden.
Die Geradengleichung der Geraden g in Parameterform lautet also:
2 Den nächsten Punkt auf der Geraden suchen
Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden ist der festgelegt als der kürzeste Abstand.
Der Punkt P soll der Punkt auf der Geraden g sein, der den geringsten Abstand zum Punkt A hat.
ist der Ortsvektor diese Punktes.
Da der Punkt auf der Geraden liegt gibt es einen Wert für , so dass
(1)
Den geringsten Abstand zur Geraden g hat der Punkt P dann, wenn der Verbindungsvektor von P nach A senkrecht zur Geraden und damit zum Richtungsvektor der Geraden ist.
ist der Verbindungsvektor zwischen P und A.
Dann gilt:
Mit (1) ergibt sich dann:
Da muss das Skalarprodukt der beiden Vektoren 0 sein:
Das liefert die folgende Gleichung für :
Setzt man in die Geradengleichung ein, so findet man den Ortsvektor des Punktes P:
3 Den Abstand der Punkte A und P berechnen:
Der Abstand der Punkte A und P entspricht dem Betrag des Verbindungsvektors :
Der Abstand des Punktes A zur Geraden g beträgt 9 LE.