Odhad Ludolfova čísla π
Nejjednodušší je získat dolní odhad pomocí vepsaného pravidelného mnohoúhelníku. Sestrojíme kružnici o poloměru r =1 a do ni vepíšeme pravidelný n-úhelník. Obvod kružnice o = 2πr tak bude dvojnásobkem odhadovaného čísla π.
Postup
- Nejprve zadáme posuvník n pro počet vrcholů. Začneme od n = 6 a pokud chcete dosáhnoud Archmedovy přesnosti, nastavte horní mez n = 96. Pro dosažení maximální přesnosti GeoGebry (15 des. míst) bychom museli spočítat obvod pro . Sestrojte průměr kružnice OA délky 1.
- Sousední vrchol B mnohoúhelníka sestrojíme pomocí středového úhlu
o velikosti 360°/n. - Nástrojem
sestrojíme zbývající vrcholy mnohoúhelníku. Změříme délku strany s. - Obvod n-úhelníka je roven součinu n.s, proto odhad je .
Archimedův postup
První, kdo popsal obecnou metodu pro zpřesňování odhadu čísla π byl Archimedes ze Syrakus. Sám dosáhl svými omezenými prostředky přesnosti na dvě desetinná místa, ale stejnou metodu použil i německý matemati Ludolf van Ceulen, který v roce 1597 zveřejnil odhad na 35 desetinných míst.
Pokuste se zopakovat Archimedovu aproximaci pomocí obsahu vepsaných a opsaných pravidelných mnohoúhelníků. Obsah kruhu je jistě větší než obsah vepsaného šestiúhelníku a menší než obsah šestiúhelníku opsaného. Díky jednotkovému poloměru určují obsahy pravidelných šestiúhelníků přímo dolní a horní mez odhadu. Archimedes v dalším kroku počet vrcholů zdvojnásobil na 12, poté na 24, 48 a nakonec pro mnohoúhelník s 96 stranami získal odhad s přesností na dvě desetinná místa pro obě meze.
Úloha pro programátory
Pokud se vám podaří nalézt vzorec pro výpočet strany 12 ze zadané strany šestiúhelníku, můžeme jej zobecnit do rekurentního vztahu a přepsat do tabulky Google nebo Excelu. Rovněž byste měli zvládnout vytvořit program ve Scratchi, který pomocí 5 průchody cyklu přepočítá obvod n-úhelníku pro n = 6, 12, 24, 48 a 96.
Do kružnice o poloměru r = 1 postupně vepisujeme pravidelný šestiúhelník a dvanáctiúhelník. Osa OG strany šestiúhelníka AB prochází vrcholem dvanáctiúhelníka H a tato vlastnost bude platit i pro další zdvojnásobování počtu vrcholů.
Užitím Pythagorovy věty pro ΔAOG (zeleně) dostáváme vztah pro a, hledaná strana d dvanáctiúhelníka je přeponou v ΔAHG (červeně), přičemž a + b = 1.
Google tabulky - odhad π pomocí obvodu vepsaného n-úhelníka
Odkazy
Š. Voráčová: Odhad π , sdílený dokument Google tabulky.
Š. Voráčová: Odhad Pi, výukový materiál ne serveru GeoGebra
E. Bernátová, Historie čísla π, bakalářská práce, UK Praha, 2010
MathWithoutBorders: Finding Pi by Archimedes, Youtube