Information (Lehrer): Grundriss, Aufriss, Seitriss, Dreitafel-Ansicht
Durch den Einfluss digitaler Werkzeuge wie computer aided Design (CAD) und räumliche dynamische Geometrie-Software (RDGS) hat die Raumgeometrie in den letzten Jahrzehnten einen enormen Impuls bekommen (der bisher noch unzureichend in den allgemeinbildenden Schulen angekommen ist).
In der RDGS GeoGebra können verschiedene dreidimensionale Körper virtuell definiert werden wie Polyeder, Kugel, Kegel, Zylinder, Pyramide, Prisma und alle platonischen Körper.
Diese werden dann im 3D Fenster als Schrägbild angezeigt, wobei es eine GeoGebra Standard-Ansicht gibt und weitere Darstellungen durch andere orthogonale Parallelprojektionen (z. B. Dimetrie, Isometrie), durch schräge Parallelprojektionen (z. B. Kavalierprojektion) und durch Zentralprojektionen möglich sind.
Ein solches Schrägbild ist zweidimensional, gibt aber häufig einen guten perspektivischen Eindruck. Falls nötig, kann man die Ansicht auch drehen.
Die Zentralprojektionen geben realistischere Ansichten mit einem Tiefeneindruck, die Parallelprojektionen bewahren dafür Parallelität und Verhältnistreue und sind für mathematische und technische Zwecke besser geeignet.
Die Standard-Ansicht ist eine GeoGebra spezifische orthogonale Parallelprojektion mit der Ansichtsrichtung (1, 120°, -20°) in Kugelkoordinaten, hier auch in einer zweiten Varianten mit einem um 90° gedrehten Koordinatensystem mit der Ansichtsrichtung (1, 210°, -20°).
Dazu wird auch eine Ansicht in Dimetrie (Ingenieurprojektion) mit der Ansichtsrichtung -(sqrt(7),1,1) und eine in Isometrie mit der Ansichtsrichtung -(1,1,1) angeboten.
Die im Mathematikunterricht gängige Kavalierprojektion als schräge Parallelprojektion lässt sich in GeoGebra nicht ganz einfach realisieren, insbesondere nicht mit einem Scripting-Befehl, und wird in einer separaten Aktivität gezeigt. Ebenso die Zentralprojektion.
Die Kavalierprojektion erfolgt hier in die yz-Ebene und die x-Achse verläuft schräg (meist verkürzt) 'nach vorne'. Hier wurde für die x-Achse der Winkel 45° und der Faktor sqrt(0.5) = 0,7071 gewählt.
Dies kann man in GeoGebra einstellen bzw. ändern, indem man die Projektionsart Schrägprojektion wählt, dann Blickrichtung in yz-Ebene und schließlich unter Grafik (rechter Mausklick ins Grafik Fenster) Projektion anklickt und unter Schräg die gewünschten Parameter eingibt.
Man findet auch als zweite Variante einer Kavalierprojektion eine schräge Parallelprojektion in die xz-Ebene mit 'nach hinten' verlaufender verkürzter y-Achse.
Neben diesen Schrägbild-Projektionen gibt es auch spezielle orthogonale Projektionen in die Koordinatenebenen, die man Grundriss, Aufriss und Seitenriss nennt. Diese Bezeichnungen haben sich seit alters her eingebürgert. Diese Ansichten können in GeoGebra unter Blickrichtung separat abgerufen werden (aber eben nicht in Kombination als Dreitafel-Ansicht).
Wir stellen uns dabei einen 'Projektionsquader' mit achsenparallelen Kanten in einem dreidimensionalen xyz-Koordinatensystem vor, der sich im ersten Oktanten befindet.
Anschaulich wäre das eine Art Karton im xyz-Koordinatensystem, in dem das Objekt schwebt und orthogonal auf die Koordinatenebenen projiziert wird. Siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Normalprojektion.
Davon interessiert uns vorwiegend die Raumecke, in die man 'hineinschaut'. Diese Raumecke wird längs der y-Achse 'aufgeschnitten' und die xy-Ebene und die yz-Ebene werden um die Achsen so herumgeklappt, dass sie mit der xz-Ebene eine gemeinsame ebene Fläche bilden, auf die dann senkrecht geschaut wird.
Es sei noch angemerkt, dass das Denken in Koordinaten und Koordinatensystem typisch mathematisch ist, während im Technischen Zeichnen ein Körper als Ganzes im Vordergrund ist. Dort ist dann meist auch nicht von xy-Ebene, xz-Ebene und yz-Ebene die Rede, sondern von Bildebene π1, π2, π3 oder von Draufsicht, Vorderansicht, Seitenansicht.
Damit erhält man folgendes Bild:
Diese Bilder stammen aus der Website https://www.werken-technik.de von H. Prüser:
https://werken-technik.de/TZ/entstehung-der-ansichten.html
Diese Ansicht entspricht den Gepflogenheiten des Technischen Zeichnens nach DIN 6, ISO 128-30. Siehe Hoischen; Prüser; Vogelmann; Werklé, Schmitz & Wasssenberg.
Es sind auch andere Versionen der Dreitafel-Ansicht in mehr mathematisch orientierten Geometrie-Büchern zu finden. Siehe z. B. Müller-Phillip & Gorski, wo längs der x-Achse 'aufgeschnitten' wird.
In älteren Büchern findet man oft auch oder nur eine Zweitafel-Ansicht aus Grundriss und einer Seitenansicht, weil diese Informationen ausreichten, um daraus die orthogonale dritte Ansicht bzw. ein Schrägbild des Körpers zu rekonstruieren. Dies ist dann das umgekehrte Problem, aus zwei orthogonalen Ansichten ein Schrägbild zu erzeugen. Dies ist durch CAD und Raumgeometrie Software weitgehend obsolet geworden, weil da ein virtuelles Modell des Körpers zugrunde liegt.
Es geht hier darum, wie ein reales oder virtuelles dreidimensionales Objekt (in den Beispielen ein dreiseitiges Prisma bzw. eine vierseitige Pyramide) in einem Schrägbild und in der Dreitafel-Ansicht dargestellt wird. Zusätzlich können wir jetzt dynamisch mit GeoGebra studieren, wie sich eine Änderung der grün markierten Basis-Eckpunkte im Zugmodus von GeoGebra synchron auf alle Ansichten auswirkt.
Betrachtet man jetzt Grundriss, Aufriss und Seitenriss in der ebenen Dreitafel-Ansicht, so stellt man fest:
- Beim Grundriss (xy-Ebene) geht die positive x-Achse nach links und die positive y-Achse nach unten.
- Beim Aufriss (xz-Ebene) geht die positive x-Achse nach links und die positive z-Achse nach oben.
- Beim Seitenriss (yz-Ebene) geht die positive y-Achse nach rechts und die positive z-Achse nach oben.
Achtung: Damit passt nur der Aufriss zu den mathematische Gepflogenheiten, eine positive Achse nach rechts und eine nach oben zu zeigen! Bei den anderen Riss-Bildern ist eine Spiegelung oder Drehung erforderlich, um eine kanonische Lage das 2D Koordinatensystems zu erreichen.
Beim 3D-Objekt sind verdeckte Linien meist gestrichelt gezeichnet. In den drei Rissbildern sind hier alle Linien durchgezogen (was in professionellen Dreitafel-Ansichten anders ist).
Die Darstellung weiterer Körper ist in GeoGebra derzeit mit größerem Aufwand verbunden, weil die Werkzeuge von GeoGebra dafür derzeit noch nicht weit genug entwickelt sind.
Polyeder sind (Stand 2023) in GeoGebra bis auf Ausnahmen (Prisma, Pyramide, platonische Körper) nicht als ein virtuelles 3D-Objekt darstellbar. Ein Kuboktaeder beispielsweise wird als Konglomerat von Punkten und Flächen (und damit auch Kanten) realisiert mit der Konsequenz, dass diese Objekte im weiteren einzeln abgebildet werden müssen.
Der Befehl MatrixAnwenden() akzeptiert als 3D Objekte zur Zeit Quadriken, aber keine Polyeder. Auch sind 'entartete' 3D-Abbildungen wie Projektionen in Koordinatenebenen derzeit nicht möglich.
Tiefergehende Informationen zu den verschiedenen Projektionsverfahren finden Sie im Book Perspektive & Projektionsverfahren? Ansichtssache!
Aktualisierung 2.8.2023
Diese Bilder stammen aus der Website https://www.werken-technik.de von H. Prüser:
https://werken-technik.de/TZ/entstehung-der-ansichten.html
Diese Ansicht entspricht den Gepflogenheiten des Technischen Zeichnens nach DIN 6, ISO 128-30. Siehe Hoischen; Prüser; Vogelmann; Werklé, Schmitz & Wasssenberg.
Es sind auch andere Versionen der Dreitafel-Ansicht in mehr mathematisch orientierten Geometrie-Büchern zu finden. Siehe z. B. Müller-Phillip & Gorski, wo längs der x-Achse 'aufgeschnitten' wird.
In älteren Büchern findet man oft auch oder nur eine Zweitafel-Ansicht aus Grundriss und einer Seitenansicht, weil diese Informationen ausreichten, um daraus die orthogonale dritte Ansicht bzw. ein Schrägbild des Körpers zu rekonstruieren. Dies ist dann das umgekehrte Problem, aus zwei orthogonalen Ansichten ein Schrägbild zu erzeugen. Dies ist durch CAD und Raumgeometrie Software weitgehend obsolet geworden, weil da ein virtuelles Modell des Körpers zugrunde liegt.
Es geht hier darum, wie ein reales oder virtuelles dreidimensionales Objekt (in den Beispielen ein dreiseitiges Prisma bzw. eine vierseitige Pyramide) in einem Schrägbild und in der Dreitafel-Ansicht dargestellt wird. Zusätzlich können wir jetzt dynamisch mit GeoGebra studieren, wie sich eine Änderung der grün markierten Basis-Eckpunkte im Zugmodus von GeoGebra synchron auf alle Ansichten auswirkt.
Betrachtet man jetzt Grundriss, Aufriss und Seitenriss in der ebenen Dreitafel-Ansicht, so stellt man fest:
- Beim Grundriss (xy-Ebene) geht die positive x-Achse nach links und die positive y-Achse nach unten.
- Beim Aufriss (xz-Ebene) geht die positive x-Achse nach links und die positive z-Achse nach oben.
- Beim Seitenriss (yz-Ebene) geht die positive y-Achse nach rechts und die positive z-Achse nach oben.
Achtung: Damit passt nur der Aufriss zu den mathematische Gepflogenheiten, eine positive Achse nach rechts und eine nach oben zu zeigen! Bei den anderen Riss-Bildern ist eine Spiegelung oder Drehung erforderlich, um eine kanonische Lage das 2D Koordinatensystems zu erreichen.
Beim 3D-Objekt sind verdeckte Linien meist gestrichelt gezeichnet. In den drei Rissbildern sind hier alle Linien durchgezogen (was in professionellen Dreitafel-Ansichten anders ist).
Die Darstellung weiterer Körper ist in GeoGebra derzeit mit größerem Aufwand verbunden, weil die Werkzeuge von GeoGebra dafür derzeit noch nicht weit genug entwickelt sind.
Polyeder sind (Stand 2023) in GeoGebra bis auf Ausnahmen (Prisma, Pyramide, platonische Körper) nicht als ein virtuelles 3D-Objekt darstellbar. Ein Kuboktaeder beispielsweise wird als Konglomerat von Punkten und Flächen (und damit auch Kanten) realisiert mit der Konsequenz, dass diese Objekte im weiteren einzeln abgebildet werden müssen.
Der Befehl MatrixAnwenden() akzeptiert als 3D Objekte zur Zeit Quadriken, aber keine Polyeder. Auch sind 'entartete' 3D-Abbildungen wie Projektionen in Koordinatenebenen derzeit nicht möglich.
Tiefergehende Informationen zu den verschiedenen Projektionsverfahren finden Sie im Book Perspektive & Projektionsverfahren? Ansichtssache!
Aktualisierung 2.8.2023