Méthode de Newton (ou des tangentes)
Cette méthode géométrique permet d'approximer un nombre rationnel par une suite de rationnels
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et Cf sa courbe représentative. On admet que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution a dont on cherche à déterminer une approximation.
Soit u0 un point de I.
On trace la tangente à la courbe au point d'abscisse u0 qui a donc comme coordonnée (u0, f(uo))
Tracé de la 1ere tangente
La tangente coupe l'axe des abscisses en u1.
L'équation de la tangente est :
Le point de coordonnées (u1, 0) appartient à la tangente. Ses coordonnées vérifient l'équation de celle-ci :
soit
Tracé de la 2eme tangente
On remonte alors sur la courbe à partir d'un point u1 puis on trace une 2eme tangente qui coupe l'axe des abscisses en u2.
Au final, on obtient la suite définie par :
La limite donnera la valeur cherchée de f(x)=0
En appliquant cette méthode à la fonction f(x) = x²-2, on obtient d'après l'expression ci-dessus :
On retombe sur la méthode de Héron pour déterminer une approximation de
Méthode de Héron :
On démontre que la suite est décroissante à partir d'un certain rang (selon le 1er terme)
Puis que la suite est positive.
Etant décroissante et minorée, la suite converge vers une limite qui vérifie : soit
Méthode de Héron à y=x²-2
On trouve une approximation à de en lisant sur le graphe : 1.41