Ορισμός παραγώγου σε σημείο - εφαπτομένη
Αρχικές οδηγίες
Στη δραστηριότητα δίνεται μία προεπιλεγμένη συνάρτηση f και ένα σημείο Α(x0 , f(x0)) τής γραφικής της παράστασης.
Μέσω του αντίστοιχου δρομέα x0 (αριστερή πάνω γωνία της εφαρμογής) μπορούμε να αλλάζουμε τη θέση του σημείου Α πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f.
(Οι τιμές του δρομέα αλλάζουν είτε σύροντας με το ποντίκι είτε επιλέγοντάς τον με αριστερό κλικ και χρησιμοποιώντας τα πλήκτρα κατεύθυνσης (βελάκια) του πληκτρολογίου).
Έναρξη δραστηριότητας
1. Επίλεξε το κουτί «Ευθεία από το Α». Εμφανίζεται μία τυχαία ευθεία που διέρχεται από το Α,
την οποία μπορείς να περιστρέφεις από το «πράσινο σημείο».
Αφού πειραματιστείς με διάφορες θέσεις αυτής της ευθείας, απάντησε στα ακόλουθα ερωτήματα:
- Αν μία ευθεία έχει ένα μόνο κοινό σημείο με τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, τότε είναι βέβαιο ότι είναι εφαπτομένη;
- Η εφαπτομένη σε κάποιο σημείο της γραφικής παράστασης μίας συνάρτησης f έχει πάντα ένα μόνο κοινό σημείο με αυτήν;
2. Δώσε στον δρομέα την τιμή x0 = 0, οπότε έχεις το σημείο A(0,f(0)).
Επίλεξε το κουτί «Εμφάνιση Στοιχείων», οπότε εμφανίζεται ένα μεταβλητό σημείο M(x,f(x)) της
γραφικής παράστασης της f δεξιά του x0 και ένα, επίσης μεταβλητό, σημείο N(x,f(x)) αριστερά του x0.
Επιπλέον εμφανίζονται και οι ημιευθείες ΑΜ, ΑΝ.
Με τους δρομείς h1 και h2 μετακινούνται τα σημεία Μ , Ν αντίστοιχα.
Με τα κουμπιά «κίνηση Μ» και «κίνηση Ν» κάνεις τα σημεία Μ, Ν να «κινηθούν» προς το Α.
Ερώτημα : Με τι ισούται ο συντελεστής διεύθυνσης κάθε ημιευθείας;
Επίλεξε τα κουτιά «Εμφάνιση κλίσεων» , «Κλίση ΑΜ» και «Κλίση ΑΝ» για να εμφανίσεις τις
αντίστοιχες κλίσεις.
3. Άλλαξε τις τιμές του δρομέα h2 (εναλλακτικά κάνε κλικ στο κουμπί «κίνηση Ν»).
Παρατήρησε ότι το σημείο Ν πλησιάζει προς το σημείο Α. Πώς εκφράζεται η κίνηση αυτή με
μαθηματικό τρόπο; « το σημείο Ν πλησιάζει στο Α» :
Η ημιευθεία ΑΝ τείνει να πάρει μία «οριακή θέση» η2. Τι συντελεστή διεύθυνσης θα έχει η
ημιευθεία η2 ;
4. Συνέχισε με ανάλογο τρόπο μεταβάλλοντας το σημείο Μ. Πώς εκφράζεται η κίνηση του Μ προς
το Α με μαθηματικό τρόπο; « το σημείο Μ πλησιάζει στο Α» :
Η ημιευθεία ΑΜ τείνει να πάρει μία «οριακή θέση» η1. Τι συντελεστή διεύθυνσης θα έχει η η1;
5. Κάνε κλικ και στο κουτί «Γωνία ΑΜ, ΑΝ». Με βάση τις παρατηρήσεις σου, απάντησε στα
ακόλουθα ερωτήματα:
α) Τι παρατηρείς για τη γωνία που σχηματίζουν οι ημιευθείες ΑΜ , ΑΝ ;
(εμφάνισε την αντίστοιχη γωνία )
β) Πώς λέγονται σε αυτή την περίπτωση οι ημιευθείες η1, η2 ;
γ) Ποια θα είναι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α και με τι θα ισούται
ο συντελεστής διεύθυνσής της;
(κάνε κλικ στο κουτί «Εφαπτομένη» για επαλήθευση των συμπερασμάτων σου)
6. Αποεπίλεξε το κουτί «Εμφάνιση Στοιχείων» για να επιστρέψεις στην αρχική θέση και με τον αντίστοιχο δρομέα x0 μετακίνησε το σημείο Α στη θέση Α(1,f(1)).
Επανάλαβε την προηγούμενη διαδικασία των προηγούμενων βημάτων.
Με βάση τις παρατηρήσεις σου, απάντησε στα ακόλουθα ερωτήματα:
- Υπάρχει εφαπτομένη στο σημείο Α;
- Μπορείς να εξηγήσεις γιατί;
- Μπορείς να ερμηνεύσεις το παραπάνω συμπέρασμα με μαθηματικό ( αλγεβρικό ) τρόπο;
Γενικά συμπεράσματα
- Ποια είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε να υπάρχει ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης σε ένα σημείο A(x0 , f(x0)) της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f;
- Με τι ισούται ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης σε ένα σημείο A(x0 , f(x0)) της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f;
- Σε ποια περίπτωση δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης για την εφαπτομένη σε ένα σημείο A(x0 , f(x0)) της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f;
- Πώς μπορούμε «οπτικά» να καταλάβουμε αν, σε κάποιο σημείο της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f, υπάρχει εφαπτομένη;
- Υπάρχει περίπτωση η εφαπτομένη μίας συνάρτησης να έχει περισσότερα από ένα κοινά σημεία με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης;
- Υπάρχει περίπτωση η εφαπτομένη μίας συνάρτησης να «διαπερνά» τη γραφική της παράσταση στο σημείο επαφής;
Προαιρετική δραστηριότητα
1. Αποεπίλεξε το κουτί «Εμφάνιση Στοιχείων», επίλεξε το κουτί «επιλογή τύπου συνάρτησης» και κάνε
κλικ στο κουμπί «Συνάρτηση 5».
Αποεπίλεξε το κουτί «επιλογή τύπου συνάρτησης», τοποθέτησε με τον αντίστοιχο δρομέα το σημείο
Α στη θέση Α(1,f(1)) και επανάλαβε όλη την προηγούμενη διαδικασία.
Τι παρατηρείς για την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α;
Τι συμβαίνει με το όριο σε αυτή την περίπτωση;
