Equazione luogo geometrico
Equazione luogo geometrico
Definizione
Si dice luogo geometrico dei punti del piano l'insieme di tutti e soli i punti di un piano che godono di una determinata proprietà geometrica P.Una figura geometrica F è dunque un luogo geometrico se tutti i suoi punti , e solo essi, soddisfano quella proprietà P.
Equazione di un luogo geometrico
Fissato un riferimento cartesiano ortogonale, ogni punto del luogo può essere espresso mediante le coordinate P(x ; y) . La proprietà geometrica che caratterizza tale luogo può essere così tradotta in una relazione algebrica che lega l'ascissa x e l'ordinata y dei suoi punti.
Questa relazione è costituita da un'equazione del tipo:
f (x ; y) = 0
Essa è soddisfatta solo da tutti i punti P(x ; y) che formano il luogo.Viceversa tutti i punti del piano le cui coordinate x e y soddisfano l'equazione appartengono al luogo.Un luogo geometrico, in geometria analitica, è l'insieme di tutti e soli i punti del piano le cui coordinate soddisfano l'equazione f (x ; y) = 0
Esempio Sia g : x2 + y2 - 4x -2y + 1 = 0 l'equazione di un luogo geometrico. Verifichiamo se i punti P(2;3) e Q(0;-1) appartengono ad esso. Sostituiamo nell'equazione g le coordinate del punto P: 22 + 32 - 4× 2 - 2× 3 + 1 = 0 4 + 9 - 8 - 6 + 1 = 0 0 = 0 il punto P , poiché soddisfa l'equazione g , appartiene al luogo.Sostituiamo ora le coordinate di Q : 02 + (-1)2 - 4× 0 -2(-1) + 1 = 0 1 + 2 + 1 = 0 4 =0 il punto Q non soddisfa l'equazione g , di conseguenza non appartiene al luogo.