Całka niewłaściwa (1)
1. Niech będzie funkcją całkowalną na każdym skończonym przedziale domkniętym . Granicę nazywamy całką niewłaściwą funkcji na przedziale i oznaczamy .
Jeżeli powyższa granica istnieje i jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa jest zbieżna, natomiast jeżeli granica ta nie istnieje lub jest niewłaściwa, to mówimy, że całka jest rozbieżna.
Przykład 1.
Obliczymy całkę niewłaściwą
Rozwiązanie:
Poniższy aplet pokazuje jak zmienia się wartość całki wraz ze wzrostem wartości parametru .
2. Niech będzie funkcją całkowalną na każdym skończonym przedziale domkniętym . Granicę nazywamy całką niewłaściwą funkcji na przedziale i oznaczamy .
Jeżeli powyższa granica istnieje i jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa jest zbieżna, natomiast jeżeli granica ta nie istnieje lub jest niewłaściwa, to mówimy, że całka jest rozbieżna.
Przykład 2.
Obliczymy całkę niewłaściwą .
Rozwiązanie:
Można zaobserwować (patrz aplet poniżej), że całka ta jest "wolniej zbieżna" niż całka z przykładu 1.
3. Niech będzie funkcją całkowalną na każdym skończonym przedziale domkniętym i niech będzie dowolną liczbą. Jeżeli obie całki niewłaściwe oraz istnieją i są zbieżne, to całkę nazywamy całką niewłaściwą na przedziale .