3 Kreise stereographisch
Zu 3 Kreisen in der Ebene gehören - stereographisch projiziert - auf der Kugel 3 Kreise als Schnitte der Kugel mit den zugehörigen Kreisebenen.
Die 3 Kreisebenen schneiden sich paarweise in 3 Geraden, die sich in einem gemeinsamen Punkt schneiden.
Die 3 Pole der Kreise auf der Kugel liegen auf einer Ebene .
Der Punkt und die Ebene liegen polar zueinander bezüglich der Kugel.
Zur Ebene gehört ein reeller oder imaginärer Kreis, der orthogonal zu den 3 vorgegebenen Kreisen liegt.
Gehen die 3 Kreise durch einen gemeinsamen Punkt, so liegt der Schnittpunkt der 3 Kreisebenen auf der Kugel.
Das Problem von Apollonius gliedert sich also auf in die folgenden 3 alternativen Aufgaben:
- Hyperbolischer Fall: Man konstruiere zu 3 Kreisen, die orthogonal zu einem reellen (echten) Kreis liegen, alle berührenden Kreise. Wählt man den orthogonalen Kreis als absoluten Kreis einer hyperbolischen Ebene, so lautet die Aufgabe: Konstruiere zu drei GERADEN der hyperbolischen Ebene alle Kreise, die die GERADEN berühren.
- Elliptischer Fall: Man konstruiere zu 3 Kreisen, die orthogonal zu einem imaginären (echten) Kreis liegen, alle berührenden Kreise. Wählt man die außerhalb der Kugel liegende Ebene der Kreispole als absolute Ebene einer elliptischen Ebene, so lautet die Aufgabe: Konstruiere zu 3 GERADEN der elliptischen Ebene alle Kreise, welche die GERADEN berühren.
- Euklidischer Fall: Man konstruiere zu 3 Kreisen, die sich in einem gemeinsamen Punkt schneiden, alle berührenden Kreise. Wählt man den gemeinsamen Schnittpunkt als für die stereographische Projektion auf eine euklidische (oder besser äquiforme) Ebene, so lautet die Aufgabe: Konstruiere zu 3 GERADEN der euklidischen Ebene alle berührenden Kreise.
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gebra-books APOLLONIOS circles & conics (November 2018)