X(78) Isogonal conjugate of X(34)
Isogonal conjugate of X(34)
Be, the triangle center X(34) is the X(4) beth-conjugate of X(4).
X(4) (O in the applet ) is the triangle center where the altitudes cross.
A beth- conjugate is defined as follows:
Let P = p : q : r and U = u : v : w be points, neither lying on a sideline of ABC.
The P beth conjugate of U is the point h(a,b,c,p,q,r,u,v,w) : h(b,c,a,q,r,p,v,w,u) : h(c,a,b,r,p,q,w,u,v),
where
h(a,b,c,p,q,r,u,v,w) = 2abcp(cos B + cos C)(ua'/p + vb'/q + wc'/r) - (a+b+c)a'b'c'u,
where a', b', c' are - a + b + c, a - b + c, a + b - c
The isogonal conjugate of Be, triangle center X(34) can be constructed as follows:
- Reflect the lines ABe, BBe, CBe about the bisectors of the triangle ABC (=blue lines)
- These blue lines cross at the triangle center X(78). The barycentric coordinates of this point depend on the lenghts of the sides of the triangle as well as on the angles.
Isogonale toegevoegde van X(34)
Be, het tdriehoekscentrum X(34) is het X(4) beth-toegevoegde van X(4).
X(4) (O in het applet) is het driehoekscentrum waar de hoogtelijnen elkaar snijden.
Een beth- toegevoegde wordt gedefinieerd al volgt:
P = p : q : r en U = u : v : w zijn punten die niet op een zijde van de driehoek liggen.
De P-beth toegevoegde van U is het punt h(a,b,c,p,q,r,u,v,w) : h(b,c,a,q,r,p,v,w,u) : h(c,a,b,r,p,q,w,u,v),
met
h(a,b,c,p,q,r,u,v,w) = 2abcp(cos B + cos C)(ua'/p + vb'/q + wc'/r) - (a+b+c)a'b'c'u,
waarin a', b', c' gelijk zijn aan - a + b + c, a - b + c, a + b - c
Het isogonale toegevoegde punt van O, het driehoekscentrum X(34) construeer je als volgt:
- Spiegel de rechten ABe, BBe, CBe t.o.v. de bissectrices van ABC (=blauwe lijnen).
- Deze blauwe lijnen snijden elkaar in het driehoekscentrum X(78).